Suite arithmético-géométrique

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Ne pas confondre avec la moyenne arithmético-géométrique.

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition[modifier | modifier le code]

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

Remarque
On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)nn0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p[1]. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout nn0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique.

Terme général[modifier | modifier le code]

Cas a = 1[modifier | modifier le code]

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

Cas a ≠ 1[modifier | modifier le code]

En posant

on a :

(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 00 = 1).

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :

Somme des premiers termes[modifier | modifier le code]

Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,

Convergence[modifier | modifier le code]

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u0r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).

Dans le cas où |a| < 1, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle). Exemple : apport de 10 et fuite de 5 %,

Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :

On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors

De la relation

on déduit que : Comme d'autre part en remplaçant on obtient

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.[réf. incomplète]
  2. J.-P. Ramis et A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 2e éd. (1re éd. 2006) (lire en ligne), p. 534.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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