Règle du produit

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Règle de Leibniz.

En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi :

Soient et deux fonctions réelles d'une variable réelle, dérivables en un point . Alors leur produit est aussi dérivable en et .

En notation de Leibniz, cette formule s'écrit :

Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction définie par :

Pour trouver sa dérivée avec la règle du produit, on pose  et   . Les fonctions , et sont partout dérivables car polynomiales.

On trouve ainsi :

On peut le vérifier en développant d'abord l'expression de h : h(x) = x3 + x2 + x + 1, puis en dérivant cette somme terme à terme : on retrouve bien h'(x) = 3x2 + 2x + 1.

Démonstration de la règle du produit[modifier | modifier le code]

Démonstration analytique[modifier | modifier le code]

Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement[1].

Démonstration simplifiée, et illustrée géométriquement[modifier | modifier le code]

Figure 1. Illustration géométrique de la règle du produit.

Soient et deux fonctions dérivables en . Définissant  et  , l'aire du rectangle (cf. Figure 1) représente .

Si varie d'une quantité , les variations correspondantes en et sont désignées par et .

La variation de l'aire du rectangle est alors :

c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.

En divisant par  :

En prenant la limite quand , on obtient :

Généralisations[modifier | modifier le code]

Produit de plusieurs fonctions[modifier | modifier le code]

Soient des fonctions dérivables en , on a alors :

Cette relation peut être démontrée par récurrence.

Exemple :

Avec trois fonctions , et , dérivables en , on a :


Par exemple, pour trouver la dérivée de  :

Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz)[modifier | modifier le code]

La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle.

Soient un entier supérieur ou égal à 1, et et deux fonctions fois dérivables en un certain point , alors leur produit est aussi fois dérivable au point , et la dérivée d'ordre est donnée par :

où les nombres entiers sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de , notée , est la fonction elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur [2]. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs se déduire de la formule de Leibniz, appliquée à et .[réf. nécessaire]

On peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor-Young.

Dérivées d'ordre supérieur d'un produit de plusieurs fonctions[modifier | modifier le code]

La formule suivante généralise simultanément les deux précédentes :

,

où les entiers

sont les coefficients multinomiaux.

Dimensions supérieures[modifier | modifier le code]

La règle du produit s'étend à des fonctions de plusieurs variables réelles (définies sur ℝn) ou plus généralement, des fonctions dont la variable est un vecteur :

Soient E un espace vectoriel normé et f, g : E ℝ deux fonctions différentiables en un point x de E. Alors, le produit f g est différentiable en x et sa différentielle en ce point est la forme linéaire continue

On dispose de résultats analogues pour les dérivées directionnelles et les dérivées partielles.

Fonctions holomorphes[modifier | modifier le code]

Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.

Soient U un ouvert de ℂ et f, g : U ℂ des fonctions holomorphes. Alors, le produit f g est holomorphe et :

On peut aussi le déduire de la sous-section précédente (pour E = ℂ) et des équations de Cauchy-Riemann.

Autres fonctions, autres produits[modifier | modifier le code]

Si l'on regarde de près la démonstration de la règle du produit, on se rend compte que l'ingrédient principal, outre la dérivabilité des fonctions, est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (le fait que a(b + c) = ab + ac). Or les mathématiciens ont pris l'habitude de n'appeler produit que les opérations bénéficiant de cette propriété. Par contre tous les produits ne sont pas commutatifs (ab = ba quand a et b sont des nombres, mais ce n'est pas vrai pour d'autres produits). On peut donc en toute confiance appliquer la règle du produit à d'autres produits d'autres fonctions que la multiplication de fonctions numériques, mais en prenant garde de bien conserver l'ordre des facteurs quand le produit n'est pas commutatif.

Produit scalaire :

Soient et deux vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

Produit vectoriel :

Soient et deux vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

Produit mixte :

Soient , et trois vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

Produit matriciel :

Soient A(t) et B(t) deux matrices fonctions du temps t (et dérivables) et de dimensions telles que le produit AB existe. Alors :

et de même en remplaçant partout le produit matriciel ordinaire par le produit de Hadamard ou celui de Kronecker.

De même que dans le § « Dimensions supérieures », on peut, dans tous ces exemples, remplacer la variable réelle (« temps ») par une variable vectorielle.

Règle du produit dans des espaces vectoriels normés[modifier | modifier le code]

Soient X, Y et Z des espaces vectoriels normés, et B : X×YZ une application bilinéaire continue. Alors, B est différentiable et sa différentielle en un point (x, y) de X×Y est l'application linéaire continue :

Par composition avec un couple de fonctions (u, v) : TX×Y définies sur un espace vectoriel normé T, on en déduit la forme générique des exemples ci-dessus :

Si u et v sont différentiables en un point t0 de T alors la composée

l'est aussi, et sa différentielle en ce point est :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir Dérivée et opérations sur la Wikiversité.
  2. Voir Dérivées d'ordre supérieur sur la Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]