Règle du produit

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Règle de Leibniz.

En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi :

Soient f et g deux fonctions réelles d'une variable réelle, dérivables en un point x0. Alors leur produit f g est aussi dérivable en x0 et (f g)'(x0) = f'(x0) g(x0) + f(x0) g'(x0).

En notation de Leibniz cette formule s'écrit :

{\mathrm d\over\mathrm dx}(f\,g)={\mathrm df\over\mathrm dx}\,g+f\,{\mathrm dg\over\mathrm dx}.

Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit  h:\R\to\R la fonction définie par :

 h\left(x\right) = (x+1)(x^2+ 1)

Pour trouver sa dérivée  h' avec la règle du produit, on pose f(x)=x+1  et  g(x)=x^2+1 . Les fonctions  h ,  f et  g sont partout dérivables car polynomiales.

On trouve ainsi :

\begin{align}\forall x\in\R\quad h'(x)&= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\\
&=(x^2+1) + (x+1)(2x)\\
&=3x^2+2x+1.\end{align}

On peut le vérifier en développant d'abord l'expression de h : h(x) = x3 + x2 + x + 1, puis en dérivant cette somme terme à terme : on retrouve bien h'(x) = 3x2 + 2x + 1.

Démonstration de la règle du produit[modifier | modifier le code]

Démonstration analytique[modifier | modifier le code]

Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement.

On montre la relation en un point x_0 quelconque appartenant aux domaines de dérivabilité de f et de g. Le taux d'accroissement de fg s'écrit en ce point :

T_{fg}(x,x_0)=\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}.

En retranchant et en ajoutant f(x_0)g(x) on obtient alors :

T_{fg}(x,x_0)=\frac{f(x)g(x)\overbrace{-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)}^0-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}.

En factorisant les termes, on reconnaît les taux de variation de f et g :

T_{fg}(x,x_0)=\underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}_{T_f(x, x_0)}g(x)+f(x_0)\underbrace{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}_{T_g(x, x_0)}.

Sachant qu'en x_0, la dérivabilité de g implique sa continuité, les règles sur les limites de produits et de sommes permettent de conclure :

\bigl(fg\bigr)'(x_0)=\lim_{x\to x_0}T_{fg}(x,x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0).

Démonstration simplifiée, et illustrée géométriquement[modifier | modifier le code]

Figure 1. Illustration géométrique de la règle du produit.

Soient  f et  g deux fonctions dérivables en  x . Définissant  u = f(x)  et   v = g(x) , l'aire  uv du rectangle (cf. Figure 1) représente  f(x)g(x) .

Si  x varie d'une quantité  \Delta x , les variations correspondantes en  u et  v sont désignées par  \Delta u et  \Delta v .

La variation de l'aire du rectangle est alors :

\begin{align} \Delta (uv) &= (u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv \\
&= (\Delta u)v + u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v), \end{align}

c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.

En divisant par  \Delta x  :

 \frac{\Delta (uv)}{\Delta x} = \left(\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)v + u\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)+\left(\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\Delta x.

En prenant la limite quand  \Delta x \rightarrow 0 , on obtient :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(uv)=\left(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\right)v+u\left(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\right).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Produit de plusieurs fonctions[modifier | modifier le code]

Soient f_1, \dots, f_n des fonctions dérivables en  x , on a alors :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\prod_{i=1}^nf_i(x)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f_i(x)\prod_{j\ne i}f_j(x)\right)

Cette relation peut être démontrée par récurrence.

Exemple  :

Avec trois fonctions f, g et h, dérivables en x, on a :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f\,g\,h)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\,g\,h+f\,\frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}\,h+f\,g\,\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}.


Par exemple, pour trouver la dérivée de (x+1)(x^2+1)(\sqrt x-2) :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(x+1)(x^2+1)(\sqrt x-2)\right]=(x^2+1)(\sqrt x-2)+(x+1)(2x)(\sqrt x-2)+(x+1)(x^2+1)\left(\frac1{2\sqrt x}\right).

Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz)[modifier | modifier le code]

La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle.

Soient n un entier supérieur ou égal à 1, et f et g deux fonctions n fois dérivables en un certain point x, alors leur produit fg est aussi n fois dérivable au point x, et la dérivée d'ordre n est donnée par :

(f g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom nk\ f^{(n-k)}(x)\ g^{(k)}(x)
où les nombres entiers \tbinom nk sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de f, notée f^{(0)}, est la fonction f elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur n. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs se déduire de la formule de Leibniz, appliquée à f(x)=\exp(ax) et g(x)=\exp(bx).

Exemple  :

Avec n = 2 on a :

\displaystyle (fg)''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)


Soit pour trouver la dérivée seconde de  \displaystyle (x^2+1)\sin(x) :

 \displaystyle \left[ (x^2+1)\sin(x)\right]'' = 2\sin(x) + 4x\cos(x) - (x^2+1)\sin(x)

Dimensions supérieures[modifier | modifier le code]

La règle du produit s'étend à des fonctions de plusieurs variables réelles (définies sur ℝn) ou plus généralement, des fonctions dont la variable est un vecteur :

Soient E un espace vectoriel normé et f, g : E ℝ deux fonctions différentiables en un point x de E. Alors, le produit f g est différentiable en x et sa différentielle en ce point est la forme linéaire continue

D_x(fg):E\to\R,\quad h\mapsto D_xf(h)\,g(x)+f(x)\,D_xg(h).

On dispose de résultats analogues pour les dérivées directionnelles et les dérivées partielles.

Fonctions holomorphes[modifier | modifier le code]

Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.

Soient U un ouvert de ℂ et f, g : U ℂ des fonctions holomorphes. Alors, le produit f g est holomorphe et :

(f g)'=f'g + f g'.

On peut aussi le déduire de la sous-section précédente (pour E = ℂ) et des équations de Cauchy-Riemann.

Autres fonctions, autres produits[modifier | modifier le code]

Si l'on regarde de près la démonstration de la règle du produit, on se rend compte que l'ingrédient principal, outre la dérivabilité des fonctions, est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (le fait que a(b + c) = ab + ac). Or les mathématiciens ont pris l'habitude de n'appeler produit que les opérations bénéficiant de cette propriété. Par contre tous les produits ne sont pas commutatifs (ab = ba quand a et b sont des nombres, mais ce n'est pas vrai pour d'autres produits). On peut donc en toute confiance appliquer la règle du produit à d'autres produits d'autres fonctions que la multiplication de fonctions numériques, mais en prenant garde de bien conserver l'ordre des facteurs quand le produit n'est pas commutatif.

Produit scalaire  :

Soient \vec u(t) et \vec v(t) deux vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

\frac\mathrm d{\mathrm dt}[\vec u(t)\cdot\vec v(t)]=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\cdot\vec v+\vec u\cdot\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}.
Produit vectoriel  :

Soient \vec u(t) et \vec v(t) deux vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

\frac\mathrm d{\mathrm dt}[\vec u(t)\wedge\vec v(t)]=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\wedge\vec v+\vec u\wedge\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}.
Produit mixte  :

Soient \vec u(t), \vec v(t) et \vec w(t) trois vecteurs fonctions du temps t (et dérivables). Alors :

\frac\mathrm d{\mathrm dt}\{\vec u(t)\cdot[\vec v(t)\wedge\vec w(t)]\}=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\cdot[\vec v\wedge\vec w]+\vec u\cdot\left[\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\wedge\vec w\right]+\vec u\cdot\left[\vec v\wedge\frac{\mathrm d\vec w}{\mathrm dt}\right].
Produit matriciel  :

Soient A(t) et B(t) deux matrices fonctions du temps t (et dérivables) et de dimensions telles que le produit AB existe. Alors :

\frac\mathrm d{\mathrm dt}[A(t)B(t)]=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}B+A\frac{\mathrm dB}{\mathrm dt},

et de même en remplaçant partout le produit matriciel ordinaire par le produit de Hadamard ou celui de Kronecker.

De même que dans le § « Dimensions supérieures », on peut, dans tous ces exemples, remplacer la variable réelle (« temps ») par une variable vectorielle.

Règle du produit dans des espaces vectoriels normés[modifier | modifier le code]

Soient X, Y et Z des espaces vectoriels normés, et B : X×YZ une application bilinéaire continue. Alors, B est différentiable et sa différentielle en un point (x, y) de X×Y est l'application linéaire continue :

D_{(x,y)}B : X\times Y \rightarrow Z,\quad(h,k)\mapsto B\left(h,y \right) + B\left( x,k\right).

Par composition avec un couple de fonctions (u, v) : TX×Y définies sur un espace vectoriel normé T, on en déduit la forme générique des exemples ci-dessus :

Si u et v sont différentiables en un point t0 de T alors la composée

B\circ(u,v):T\to Z,\quad t\mapsto B(u(t),v(t))

l'est aussi, et sa différentielle en ce point est :

D_{t_0}\left(B\circ(u,v)\right):T\to Z,\quad\ell\mapsto B\left(D_{t_0}u(\ell),v(t_0)\right)+B\left(u(t_0),D_{t_0}v(\ell)\right).

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]