Intégrabilité

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En mathématiques, dire qu'une fonction $f$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ est intégrable est polysémique. Cela signifie usuellement que $\vert f\vert$ (barres de valeur absolue) admet une intégrale généralisée (au sens de Riemann). Toutefois, stricto sensu, cela signifie simplement que $f$ vérifie cette condition. Dans cet article, on opte pour la première définition (avec valeurs absolues).

On étend naturellement la définition à l'ensemble d'arrivée $\mathbb {C}$ (en remplaçant la valeur absolue par le module), ou même à un espace vectoriel normé (en remplaçant la valeur absolue par la norme).

Enfin, on étend la définition à l'intégrale au sens de Lebesgue.

Intégrales généralisées de Riemann

Articles détaillés : Intégrale de Riemann et Intégrale généralisée.

On travaille ici avec des intégrales généralisées (au sens de Riemann) car on intègre sur un intervalle quelconque.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb {R}$ d'extrémités $a<b$ . Soit $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ .

Définition

Soit une fonction $f:I\longrightarrow \mathbb {K}$ . On dit que $f$ est intégrable si l'intégrale ${\textstyle \int \vert f\vert }$ existe. Pour tout intervalle non vide $J\subset I$ , on dit que $f$ est intégrable sur $J$ si sa restriction à $J$ l'est.

Si $f$ est continue, l'intégrabilité implique l'existence de ${\textstyle \int f}$ . La réciproque est fausse.

Il s'agit d'une notion polysémique : on veillera à connaître les conventions des auteurs. Certains emploient plutôt « absolument convergente » pour dire que ${\textstyle \int \vert f\vert }$ existe, ou emploient « intégrable » pour l'existence de ${\textstyle \int f}$ , ou imposent en plus que $f$ soit continue par morceaux^[1]^,^[2].

On peut considérer la présente définition comme la généralisation continue de la somme des familles sommables (notion discrète). Certains auteurs proposent une formalisation semblable^[3].

Critères d'intégrabilité

Soit $f:I\longrightarrow \mathbb {K}$ intégrable sur tout intervalle fermé de $I$ (typiquement, continue).

On pose, pour tout $c\in I$ , ${\textstyle \phi _{c}:I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto \int _{c}^{x}\vert f\vert }$ (on notera qu'on intègre ici sur des intervalles fermés ; il ne s'agit que d'intégrales de Riemann basiques, non impropres). Ces fonctions $\phi _{c}$ sont essentielles dans l'étude de l'intégrabilité^[3]. Résultat important, d'après les propriétés de l'intégrale de Riemann, elles sont croissantes et continues.

Critère par limites

Pour montrer l'intégrabilité, le critère naturel découlant de la définition est :

f

est intégrable :

si et seulement si pour tout $c\in I$ , $\phi _{c}$ admet des limites finies en $a$ et en $b$ ;
si et seulement s'il existe un $c\in I$ tel que $\phi _{c}$ admette des limites finies en $a$ et en $b$ .

Le cas échéant, l'intégrale vaut $\lim \limits _{b}\phi _{c}-\lim \limits _{a}\phi _{c}$ , avec $c$ un élément quelconque de $I$ ^[a].

Critère par bornage

Un critère puissant, sans limites, est :

f

est intégrable :

si et seulement si pour tout $c\in I$ , $\phi _{c}$ est bornée ;
si et seulement s'il existe un $c\in I$ tel que $\phi _{c}$ soit bornée.

Démonstration

( $f$ intégrable $\implies$ 1) : Soit $c\in I$ . Par hypothèse sur les limites (voir caractérisation par limites), il existe $\eta _{a},\eta _{b}$ tels que $a<\eta _{a}<\eta _{b}<b$ et tels que $\phi _{c}$ soit bornée sur $\left]-\infty ,\eta _{a}\right[\cap I$ et sur $\left]\eta _{b},+\infty \right[\cap I$ . Par ailleurs, $\phi _{c}$ est bornée sur $[\eta _{a},\eta _{b}]$ car une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée. Il s'ensuit que $\phi _{c}$ est bornée (prendre le $\max$ (resp. le $\min$ ) de trois majorants (resp. minorants) précédents).

(1 $\implies$ 2) : Évident.

(2 $\implies$ $f$ intégrable) : On pose un $c$ quelconque dans $I$ . L'application $\phi _{c}$ est croissante. Elle est bornée par hypothèse. Ainsi, d'après le théorème de la limite monotone, les limites $\lim \limits _{x\to a \atop x>a}\phi _{c}(x),\lim \limits _{x\to b \atop x<b}\phi _{c}(x)$ existent et sont finies. Donc par continuité de $\phi _{c}$ , les limites $\lim \limits _{a}\phi _{c},\lim \limits _{b}\phi _{c}$ existent et sont finies. On conclut par le critère par limites que $f$ est intégrable.

Propriétés

Soient $f,g:I\longrightarrow \mathbb {K}$ .

Si $f$ $f$ est intégrable sur tout intervalle fermé de $I$ $I$ (typiquement, continue).
- Si $f$ et $I$ sont bornés, $f$ est intégrable.
- Si $g$ est intégrable et si $\vert f\vert \leq \vert g\vert$ , alors $f$ est intégrable.

Si $I$ est un intervalle fermé, l'existence de ${\textstyle \int f}$ implique l'intégrabilité de $f$ .

Si $f,g$ sont intégrables, toute combinaison linéaire de $f$ et $g$ est intégrable^[b].

Si $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ , $f$ est intégrable si et seulement si $\operatorname {Re} (f)$ et $\operatorname {Im} (f)$ le sont^[c].

On notera que, contrairement au cas de l'intégrale sur un intervale fermé, il n'y a plus conservation du caractère « être intégrable » par produit^[d].

Dans le cas où $f$ est continue, on a les propriétés suivantes :

Si $f$ est intégrable, ${\textstyle \int f}$ existe.
Si $I$ est un intervalle fermé, l'existence de ${\textstyle \int f}$ équivaut à l'intégrabilité de $f$ .
Si ${\textstyle \int \vert f\vert =0}$ , alors $f=0$ ^[e].

Exemples

Pour $\alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha \in \mathbb {R}$ , la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{\alpha }$ $f:\left]0,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{\alpha }$ est :
- si $\alpha <-1$ : non intégrable sur $]0,1]$ , intégrable sur $[1,+\infty [$ ;
- si $\alpha =-1$ : non intégrable sur $]0,1]$ , non intégrable sur $[1,+\infty [$ ;
- si $\alpha >-1$ : intégrable sur $]0,1]$ , non intégrable sur $[1,+\infty [$ ^[f].
La fonction $f:\left[1,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\tfrac {\sin {x}}{x^{2}}}$ est intégrable^[g]. Étant continue, elle admet donc aussi une intégrale.
La fonction $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{si }}x\in \mathbb {Q} \\-1&{\text{sinon}}\end{array}}\right.$ est intégrable mais n'admet pas d'intégrale^[h].
Inversement, la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\tfrac {\sin {x}}{x}}$ admet une intégrale mais n'est pas intégrable^[i]. On dit dans ce cas que l'intégrale de $f$ est semi-convergente.

Intégrales de Lebesgue

Articles détaillés : Intégrale de Lebesgue et Espace L¹.

Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré. Soit $f$ une fonction ${\mathcal {A}}$ -mesurable de $X$ dans ${\overline {\mathbb {R} }}$ (droite réelle achevée) ou $\mathbb {C}$ . On dit que $f$ est intégrable (au sens de Lebesgue) si :

\int _{X}|f(x)|~\mathrm {d} \mu (x)<+\infty

Intégrales de Kurzweil-Henstock

Article détaillé : Intégrale de Kurzweil-Henstock.

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Notes et références

Notes

↑ Le cours sur les intégrales généralisées montre que la valeur ne dépend pas de $c$ .
↑ Déjà, $\lambda f+\mu g$ est intégrable sur tout intervalle fermé, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $\vert \lambda f+\mu g\vert \leq \vert \lambda \vert \vert f\vert +\vert \mu \vert \vert g\vert$ .
↑ Pour le sens direct, remarquer déjà que $\operatorname {Re} (f)$ et $\operatorname {Im} (f)$ sont intégrables sur tout intervalle fermé, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $\vert \operatorname {Re} (f)\vert ,\vert \operatorname {Im} (f)\vert \leq \vert f\vert$ . Pour le sens indirect, remarquer que $f=\operatorname {Re} (f)+\mathrm {i} \operatorname {Im} (f)$ et user de la stabilité par combinaisons linéaires.
↑ Par exemple, $f:\left]0,1\right]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{-1/2}$ est intégrable mais son carré non (cf. exemples).
↑ L'hypothèse de continuité est indispensable : considérer une fonction nulle partout sauf en un point.
↑ Pour une preuve, voir ce lien.
↑ Elle est en effet continue, et, posant $g:\left[1,+\infty \right[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}}}$ (fonction intégrable), on a $\vert f\vert \leq \vert g\vert$ .
↑ L'intégrabilité est triviale. Pour montrer le second point, passer par les intégrales de Darboux et remarquer que sur tout intervalle non vide, l' $\inf$ vaut -1 et le le $\sup$ vaut 1 par densité de $\mathbb {Q}$ et de $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ .
↑ Pour une preuve, voir ce lien.