Exemples d'équations différentielles

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Cet article présente quelques exemples d'équations différentielles.

Les équations différentielles sont utilisées pour résoudre des problèmes en physique, en ingénierie et dans plusieurs autres sciences.

Une équation différentielle linéaire[modifier | modifier le code]

Les équations différentielles les plus simples sont les équations linéaires homogènes du premier ordre. Par exemple :

est une fonction connue admettant des primitives. Nous pouvons résoudre cette équation en la réorganisant:

. En l'intégrant on obtient

A est une constante arbitraire. (On peut vérifier que y est solution)

Une oscillation simple non amortie[modifier | modifier le code]

Prenons une masse reliée à un ressort. Il exerce sur celle-ci une force de rappel proportionnelle à l'extension ou la compression du ressort par rapport à sa longueur au repos. Nous négligeons les autres forces : gravité, frottement, etc. Nous pouvons alors décrire l'allongement du ressort à un temps comme une fonction . Cette fonction vérifie alors l'équation différentielle suivante :

où ω est un réel positif

Dont les solutions sont :

Pour déterminer les constantes et , nous utilisons les conditions initiales qui permettent de décrire l'état du système à un instant donné (correspondant en général à ).

Par exemple si nous supposons qu'à l'instant l'extension du ressort est d'une unité de longueur (), et la masse est immobile (). Nous pouvons en déduire

,

d'où l'on déduit .

,

et donc .

En conséquence est solution de l'équation différentielle étudiée.

Plus souvent en physique pour les oscillations simples non amorties on utilise la solution de la forme:

étant l'amplitude et la phase.

Pour l'exemple cité on procède:

Ce qui donne et par conséquent

D'où le résultat

La solution la plus générale en fonction de conditions initiales quelconques et est donnée par l'équation :

Prise en compte de l'amortissement[modifier | modifier le code]

Le modèle précédent négligeait les forces de frottement. De ce fait l'oscillation libre pouvait durer indéfiniment, ce qui n'est jamais observé en réalité.

Les frottements sont en général une force proportionnelle à la vitesse () et opposée au mouvement. En rajoutant ce terme notre équation différentielle devient :

est le coefficient de frottement, avec .

Ceci est une équation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène et du second ordre, que nous pouvons résoudre.

En cherchant une solution de la forme particulière , nous constatons que doit vérifier l'équation caractéristique suivante :

.

Si nous avons deux racines complexes , et la solution (avec les conditions initiales identiques au cas précédent) a la forme suivante :

(Nous pouvons démontrer que )

Le système étudié (le pendule pesant dans le référentiel terrestre supposé galiléen) est le siège d'oscillations libres amorties. Le centre d'inertie de la masse a une trajectoire que décrit la courbe suivante :

Oscillation amortie.png

(ce sont les positions du centre d'inertie de la masse, en fonction du temps, avec correspondant à une position d'équilibre)

NB : la courbe présente une allure proche d'un régime critique : la position d'équilibre est à peine franchie, et on ne compte guère plus d'une pseudo-période d'oscillations.

Articles connexes[modifier | modifier le code]