Exemples d'équations différentielles

Cet article présente quelques exemples d'équations différentielles.

Les équations différentielles sont utilisées pour résoudre des problèmes en physique, en ingénierie et dans plusieurs autres sciences.

Une équation différentielle linéaire

Les équations différentielles les plus simples sont les équations linéaires homogènes du premier ordre. Par exemple :

${dy \over dt}+f(t)y=0$

où $f$ est une fonction connue admettant des primitives. Nous pouvons résoudre cette équation en la réorganisant:

${d \over dt}\left(e^{F(t)}y\right)=0$

où $F(t)=\int f(t)dt\,$. En l'intégrant on obtient

$y=Ae^{-F(t)}\,$

où A est une constante arbitraire. (On peut vérifier que y est solution)

Une oscillation simple non amortie

Prenons une masse reliée à un ressort. Il exerce sur celle-ci une force de rappel proportionnelle à l'extension ou la compression du ressort par rapport à sa longueur au repos. Nous négligeons les autres forces : gravité, frottement, etc. Nous pouvons alors décrire l'allongement du ressort à un temps $t\,$ comme une fonction $x(t)\,$. Cette fonction vérifie alors l'équation différentielle suivante :

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x\,$ où ω est un réel positif

Dont les solutions sont :

$x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\,$

Pour déterminer les constantes $A\,$ et $B\,$, nous utilisons les conditions initiales qui permettent de décrire l'état du système à un instant donné (correspondant en général à $t=0\,$).

Par exemple si nous supposons qu'à l'instant $t=0\,$ l'extension du ressort est d'une unité de longueur ($x=1\,$), et la masse est immobile ($dx/dt=0\,$). Nous pouvons en déduire

$x(0)=A\cos 0+B\sin 0=A=1\,$,

d'où l'on déduit $A=1\,$.

$x'(0)=-\omega A\sin 0+\omega B\cos 0=\omega B=0\,$,

et donc $B=0\,$.

En conséquence $x(t)=\cos(\omega t)\,$ est solution de l'équation différentielle étudiée.

Plus souvent en physique pour les oscillations simples non amorties on utilise la solution de la forme:

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi ),$

$A$ étant l'amplitude et $\phi$ la phase.

Pour l'exemple cité on procède:

$x(0)=A\cos(\phi )=1$

$x'(0)=-A\omega \sin(\phi )=0$

Ce qui donne $\phi =0$ et par conséquent $A=1$

D'où le résultat $x(t)=\cos(\omega t)$

La solution la plus générale en fonction de conditions initiales quelconques $x_{0}~$ et ${\dot {x}}_{0}$ est donnée par l'équation :

$x(t)=x_{0}\cos {(\omega t)}+{\dfrac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}\sin {(\omega t)}$

Prise en compte de l'amortissement

Le modèle précédent négligeait les forces de frottement. De ce fait l'oscillation libre pouvait durer indéfiniment, ce qui n'est jamais observé en réalité.

Les frottements sont en général une force proportionnelle à la vitesse ($dx/dt$) et opposée au mouvement. En rajoutant ce terme notre équation différentielle devient :

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-c{\frac {dx}{dt}}-\omega ^{2}x\,$ où $c\,$ est le coefficient de frottement, avec $c>0\,$.

Ceci est une équation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène et du second ordre, que nous pouvons résoudre.

En cherchant une solution de la forme particulière $Ae^{kt}\,$, nous constatons que $k\,$ doit vérifier l'équation caractéristique suivante :

$k^{2}+ck+\omega ^{2}=0\,$.

Si $c<2\omega \,$ nous avons deux racines complexes $a\pm ib\,$, et la solution (avec les conditions initiales identiques au cas précédent) a la forme suivante :

$x(t)=e^{at}\left(\cos bt-{\frac {a}{b}}\sin bt\right)\,$

(Nous pouvons démontrer que $a<0\,$)

Le système étudié (le pendule pesant dans le référentiel terrestre supposé galiléen) est le siège d'oscillations libres amorties. Le centre d'inertie de la masse a une trajectoire que décrit la courbe suivante :

(ce sont les positions du centre d'inertie de la masse, en fonction du temps, avec $x=0$ correspondant à une position d'équilibre)

NB : la courbe présente une allure proche d'un régime critique : la position d'équilibre est à peine franchie, et on ne compte guère plus d'une pseudo-période d'oscillations.

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