Règle de L'Hôpital

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la règle de L'Hôpital (également appelée théorème de l'Hospital ou règle de Bernoulli) utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients. Le théorème de Stolz-Cesàro est un résultat analogue concernant des limites de suites, mais utilisant les différences finies au lieu de la dérivée.

Historique[modifier | modifier le code]

La règle porte le nom d'un mathématicien français du XVIIe siècle, Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, qui a publié l'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit en français. La règle de L'Hôpital apparaît dans cet ouvrage et constitue la prop.1 de la section IX, §163, p. 145[1] : l'objet de cette proposition consiste à donner la valeur d'une quantité y dépendant d'une variable x pour la valeur a de cette variable, lorsque y s'écrit comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux en a.

L'auteur du livre est sans doute Jean Bernoulli, car L'Hôpital payait à Bernoulli une pension de 300 francs par an pour le tenir informé des progrès du calcul infinitésimal, et pour résoudre les problèmes qu'il lui posait (comme celui de trouver la limite des formes indéterminées) ; de plus, ils avaient signé un contrat autorisant L'Hôpital à utiliser les découvertes de Bernoulli à sa guise[2]. Quand L'Hôpital publia son livre, il reconnut ce qu'il devait à Bernoulli, et, ne voulant pas se voir attribuer son travail, publia anonymement. Bernoulli prétendit alors être l'auteur de l'ouvrage entier, ce qui fut longtemps cru, mais la règle n'en fut pas moins nommée d'après L'Hôpital, bien qu'il n'ait jamais prétendu l'avoir inventée[3].

Énoncé des règles de L'Hôpital[modifier | modifier le code]

Principe[modifier | modifier le code]

Soit a réel ou égal à ±∞, tel que les fonctions réelles f et g soient définies et dérivables « au voisinage » de a, la dérivée de g ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en a du quotient f/g, où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers zéro, soit les deux vers l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée.

La règle, pour f et g définies (au moins) sur un intervalle d'extrémités a et b, est exposée ici pour des limites à droite en a avec –∞a < b. Elle est bien sûr transposable à gauche avec b < a+∞ et la règle bilatérale, pour des limites épointées en un réel a, se déduit de la conjonction de ces deux règles latérales.

Énoncé simple[modifier | modifier le code]

Dans l'ouvrage de M. de l'Hôpital, la règle qui apparaît est celle communément utilisée dans le cas de deux fonctions dérivables en a et telles que le quotient soit défini[4] :

Si et sont deux fonctions définies sur , dérivables en , et telles que et , alors .

Généralisations[modifier | modifier le code]

La règle de l'Hôpital a été généralisée à des situations où f et g sont supposées définies et dérivables à droite de a (ou à gauche de b), mais pas en a (a pouvant être réel ou infini). La première généralisation s'applique à des fonctions f et g dont la limite en a est nulle et la seconde, à des fonctions f et g pour lesquelles la limite de g en a est infinie.

Soient et deux fonctions dérivables sur et telles que ne s'annule pas.

  1. Si et alors [5],[6],[7].
  2. Si et si alors .

Ces deux généralisations sont valides que soit une limite réelle ou infinie. Leur démonstration[8] utilise le « théorème de la moyenne de Cauchy » (cf. théorème des accroissement finis généralisé)[9], avec plus de précaution pour la seconde[10],[11].

Utilisations[modifier | modifier le code]

La règle n'est utilisable qu'en cas d'indétermination. Par exemple[12]

Dans le cas d'indétermination de la forme « 0/0 », l'énoncé simple peut souvent être utilisé[4], ou la première généralisation.

Dans le cas d'indétermination de la forme « ∞/∞ », c'est la seconde généralisation que l'on va employer :

Parfois, il faudra utiliser plusieurs fois la règle de l'Hôpital pour parvenir au résultat :

Certaines limites, qui n'apparaissent pas comme des limites de quotients, peuvent être obtenues avec cette règle :

Précautions à prendre[modifier | modifier le code]

On remarquera que les formes généralisées ne donnent que des conditions suffisantes d'existence de la limite. Il existe donc des cas où la limite du quotient des dérivées n'existe pas et pourtant la limite du quotient des fonctions existe[13] :

alors que

n'admet pas de limite en 0.

Enfin, on prendra soin de vérifier que g' (x) est bien non nul au voisinage de a (et donc que g n'oscille pas trop autour de 0), sinon la règle n'est pas applicable. Par exemple[14], si

alors

donc

mais

n'admet pas de limite en +∞ car oscille entre 1/e et e.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes », sur Gallica.
  2. (en) Eli Maor, e: The Story of a Number, PUP, , p. 116.
  3. (en) Ross L. Finney et George B. Thomas, Jr., Calculus, Addison-Wesley, , 2e éd., p. 390.
  4. a et b Pour une démonstration et un exemple d'utilisation, voir l'exercice « Règle simple de L'Hôpital » sur la Wikiversité.
  5. E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, tome 3, topologie et éléments d'analyse, Masson, 1982, p. 125.
  6. (en) Michael Spivak, Calculus, W. A. Benjamin, (lire en ligne), p. 179-180.
  7. Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral, PPUR, (lire en ligne), p. 103.
  8. Voir « Règle de L'Hôpital » sur la Wikiversité.
  9. En remplaçant son utilisation par celle de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles, on étend facilement la première généralisation au cas où f est à valeurs vectorielles : (en) J. Albrycht, « L'Hôpital's rule for vector-valued functions », Colloquium Mathematicum, vol. 2, no 3-4,‎ , p. 176-177 (lire en ligne).
  10. Spivak 1967, p. 186, exercice 37.
  11. Douchet et Zwahlen 2006, p. 103-105.
  12. Spivak 1967, p. 185, exercice 33. Voir aussi (en) Andrei Bourchtein et Ludmila Bourchtein, CounterExamples: From Elementary Calculus to the Beginnings of Analysis, CRC Press, (lire en ligne), p. 126, exemple 21.
  13. Exercice 25 de Bourchtein et Bourchtein 2014, p. 131 — voir aussi p. 127, exemple 22.
  14. (de) Otto Stolz, « Ueber die Grenzwerthe der Quotienten », Math. Ann., vol. 15,‎ , p. 556-559 (lire en ligne) (p. 557). Voir aussi Bourchtein et Bourchtein 2014, p. 128 (exemple 23) et p. 131 (exercice 26).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Règle de L'Hôpital sur la monotonie

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Gabriel Nagy, « The Stolz-Cesaro Theorem » — Démonstration séquentielle de la deuxième généralisation, à l'aide du cas ∙/∞ du théorème de Stolz-Cesàro.