Moyenne arithmético-géométrique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la définition de suite arithmético-géométrique.

La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.

La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donné deux réels positifs a et b, il est possible de définir deux suites (u_n) et (v_n) de premiers termes u_{0} = \min(a,b), v_{0} = \max(a,b) et satisfaisant les relations de récurrence :

u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n}
v_{n+1} = {1 \over 2} (u_n + v_n).

Les propriétés des moyennes arithmétique et géométrique assurent que ces deux suites sont adjacentes : pour deux « germes » positifs 0 < u_0 < v_0, il résulte de l'inégalité arithmético-géométrique que u_n < v_n.

La suite  u_0,u_1,u_2,\dotsc est par conséquent monotone croissante, et majorée par v_0.

Elle converge donc vers une certaine limite \beta.

À l'opposé, la suite v_0,v_1,v_2,\dotsc est monotone décroissante et minorée (par u_0), ce qui implique qu'elle converge vers une certaine limite \alpha. En d'autres termes :  u_0 < u_1 < \dotsb < u_n < u_{n+1} < \dotsb < \beta \le \alpha < \dotsb < v_{n+1} < v_n < \dotsb < v_1 <  v_0.

Revenant à la définition de la suite, v_{n+1} = (u_n + v_n)/2 à n'importe quel rang, de sorte qu'à la limite \alpha = (\alpha + \beta)/2, d'où \alpha = \beta. Cette limite commune, M(a,b), est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.

La moyenne arithmético-géométrique est une moyenne...[modifier | modifier le code]

Étant donné deux réels positifs a et b :

  • il ressort directement de la définition que M(a,b)=M(b,a)
  • et que pour t\geq0, M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)

Cela signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennes[1]) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en a et b.

  • \min\{a,b\}\leq\sqrt{ab}\leq M(a,b)\leq\frac{a+b}2\leq\max\{a,b\}, l'égalité n'intervenant que lorsque a=b
  • M(a,b)=M\left(\frac{a+b}2,\sqrt{ab}\right)

Vitesse de convergence[modifier | modifier le code]

Posons c_n := \sqrt{{v}_{n}^{2} - {u}_{n}^{2}}

Il résulte de la majoration :  c_{n+1} = \frac{1}{2}(v_n-u_n) = \frac{{c}_{n}^{2}}{4{v}_{n+1}} \leq \frac{{c}_{n}^{2}}{M(a,b)} que ce processus est à convergence quadratique[2].

Histoire[modifier | modifier le code]

La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse. Analysant les relations entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques de 1re espèce, Gauss, dans ses Cahiers mathématiques attira l'attention[3] sur la relation (donnant la longueur d'arc d'une lemniscate) : \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})} = \int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cf. l'article Moyenne généralisée.
  2. Voir par exemple l'exposé de John Boxall, « La moyenne arithmético-géométrique : applications et généralisations », sur université de Caen.
  3. Cf. Carl Friedrich Gauss, Mathematisches Tagebuch 1796–1814 : avec une introduction historique de Kurt-R. Biermann, Francfort-sur-le-Main, Harri Deutsch, coll. « Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, n° 256 » (réimpr. Edition révisée et anotée par Hans Wuszing et Olaf Neumann, 5), « 98 (Brunswick, 30 mai 1798) »: « Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et \sqrt{2} esse  = \frac{\pi}{\varpi} usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur. » De là, \varpi := 2\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}, la constante de la lemniscate étudiée par Gauss.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge, coll. « Cambridge Mathematical Library »,‎ 1927 (4e éd.) (réimpr. 2000), p. 515.

Liens externes[modifier | modifier le code]