Dérivation itérée

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En mathématiques, le concept de dérivation itérée étend le concept de dérivée en le répétant plusieurs fois.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit une fonction de vers définie sur un intervalle (non vide et non réduit à un point). On s'intéresse dans cet article aux dérivées successives de cette fonction.

Dérivée première sur un intervalle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivabilité.

Lorsque la dérivée existe pour tout , on dit que est « dérivable sur  ».

On définit dans ce cas la fonction  :

.

Cette fonction s'appelle la « fonction dérivée de sur  » ou « fonction dérivée première de sur  » et se note également .

Dérivée seconde sur un intervalle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivée seconde.

Lorsque est dérivable sur et que la fonction est elle-même dérivable sur , sa fonction dérivée sur , , s'appelle la fonction « dérivée seconde de sur  » et se note ou . On dit alors que est « dérivable deux fois sur  ».

Dérivée n-ième sur un intervalle[modifier | modifier le code]

On définit (sous réserve d'existence) les « dérivées successives de sur  » par l'initialisation et la formule de récurrence

Pour tout entier naturel n, la fonction est appelée fonction « dérivée n-ième (ou d'ordre n) de sur  ».

Lorsque existe, on dit que est « dérivable n fois sur  ». Dans ce cas, toutes les dérivées successives de d'ordre strictement inférieur à n sont continues sur , puisqu'elles y sont dérivables ; mais n'est pas nécessairement continue sur  : c'est ce qui motive la définition, donnée ci-dessous, des fonctions de classe Cn.

Classe Cn[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Classe de régularité.

Soit un entier naturel non nul. On dit que la fonction est de classe (ou fois continûment dérivable) sur si elle est fois dérivable sur et si la fonction est continue sur .

Conformément à la convention indiquée supra, la fonction est dite de classe sur si elle est continue sur .

Si on note de manière abusive l'ensemble des fonctions de classe sur , on remarque que les sont des ensembles emboîtés.

La fonction est dite de classe (ou indéfiniment dérivable) sur si, pour tout , est de classe sur . En fait :

Dérivée d'ordre non entier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Analyse fractionnaire.

Toutes les définitions données ci-dessus se rapportent à une dérivation à un ordre entier. Il peut être intéressant d'étudier le cas des dérivations à des ordres non entiers. Ceci fait l'objet d'une discipline appelée l'analyse fractionnaire et trouve de nombreuses applications dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'acoustique, la thermodynamique ou l'électromagnétisme.

Formule de Leibniz[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Leibniz.

Le produit de deux fonctions d'une variable réelle et définies et dérivables jusqu'à l'ordre sur un intervalle est dérivable jusqu'à l'ordre . La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre donnée par :

où les nombres entiers sont les coefficients binomiaux.

Formule de Faà di Bruno[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Faà di Bruno.

La composée de deux fonctions et respectivement définies et dérivables jusqu'à l'ordre sur un intervalle pour g et g(I) pour f est dérivable jusqu'à l'ordre sur I; la formule de Faà di Bruno fournit sa dérivée d'ordre donnée par :

où la somme parcourt tous les n-uples (m1, ..., mn) vérifiant la contrainte  :

Articles connexes[modifier | modifier le code]