Produit de Cauchy

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En analyse, le produit de Cauchy est une opération portant sur certaines séries. Il permet de généraliser la propriété de distributivité. Son nom est un hommage à l'analyste français Augustin Louis Cauchy. Il s'agit d'un produit de convolution discret.

Préliminaire : une écriture du produit de polynômes[modifier | modifier le code]

Une écriture particulière des coefficients du produit de polynômes permet de comprendre l'introduction de la formule du produit de Cauchy. Soient deux polynômes à coefficients complexes P et Q donnés par leur décomposition dans la base canonique

où les coefficients de P et de Q sont nuls à partir d'un certain rang. Alors leur produit se décompose comme

La réindexation nécessaire ne pose pas de difficulté puisque la somme est finie.

Produit de Cauchy de séries complexes[modifier | modifier le code]

Le produit de Cauchy des suites (an) et (bn) de nombres complexes est la suite de terme général

Sous des hypothèses convenables (il suffit par exemple que les deux séries et soient absolument convergentes), la série associée converge, et l'on peut écrire la formule de distributivité généralisée

Si les séries sont toutes les deux à termes nuls à partir d'un certain rang, il suffit d'utiliser le résultat du paragraphe précédent dans le cas X = 1. Mais en général, il n'est pas possible d'affirmer que la propriété est vraie puisqu'on ne peut pas réindexer de façon arbitraire des sommes de séries (c'est possible dans le cas où une série est absolument convergente : voir famille sommable).

Il peut aussi arriver que et divergent et que soit absolument convergente. Par exemple[1], le produit de Cauchy des suites (1, 2, 2, 2, 2, …) et (1, –2, 2, –2, 2, …) est la suite nulle (pour d'autres exemples, voir le § ci-dessous sur les séries entières).

Cas de deux séries absolument convergentes[modifier | modifier le code]

Lorsque les séries et sont toutes deux absolument convergentes, leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée est vérifiée. Il suffit en effet d'utiliser les propriété de commutativité et d'associativité des familles sommables.

Notamment, pour deux complexes a et b, on peut faire le produit de Cauchy des séries définissant l'exponentielle

À partir de cette propriété, il est possible également de définir le produit de Cauchy de deux séries entières, dont les propriétés sont étudiées ci-après.

Théorème de Mertens[modifier | modifier le code]

Le mathématicien allemand Franz Mertens a prouvé une propriété de convergence plus forte : si l'une des deux séries converge et l'autre converge absolument, alors leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée a bien lieu[2].

En revanche, si on suppose seulement que les deux séries convergent, on n'est pas assuré que la série produit de Cauchy converge. Ainsi si on considère la série de terme général , et qu'on forme son produit de Cauchy avec elle-même, on obtient pour terme général

Or de sorte que et que ce terme ne tend pas vers 0, entraînant la divergence grossière de la série[3].

Le théorème de Mertens admet une réciproque[4] : si la série des an est telle que son produit de Cauchy par toute série convergente est convergente, alors .

Théorèmes de convergence[modifier | modifier le code]

Si deux séries convergent il y a pourtant des résultats de convergence positifs pour leur produit de Cauchy. En reprenant les notations pour les termes généraux des deux séries et de la série produit de Cauchy, et en notant A et B les sommes des deux premières séries :

  • si la série produit converge, alors ce ne peut être que vers le produit AB (c'est une conséquence du théorème d'Abel) ;
  • il y a en tout cas toujours une convergence en un sens plus faible, au sens du procédé de sommation de Cesàro. C'est-à-dire
    Plus généralement, si une série est (C, α)-sommable de somme A et une autre (C, β)-sommable de somme B, avec α, β > −1[5], alors leur série produit est (C, α + β + 1)-sommable de somme AB. Une généralisation analogue du théorème de Mertens vu précédemment est[6] : si l'une des deux séries est absolument convergente de somme A et l'autre (C, β)-sommable de somme B, avec β ≥ 0, alors le produit est (C, β)-sommable de somme AB.

Produit de Cauchy de séries entières[modifier | modifier le code]

Deux séries entières et étant données, leur produit de Cauchy est également une série entière, puisque le terme général vaut cnxn avec

Les rayons de convergence Ra, Rb, Rc des trois séries entières vérifient l'inégalité

En effet, si l'on considère un complexe de module strictement inférieur à ce minimum, les deux séries entières convergent absolument, la série produit aussi, et sa fonction somme est le produit des fonctions sommes des deux séries. On en déduit que le produit de deux fonctions développables en série entière sur un ouvert est lui aussi développable en série entière.

L'inégalité précédente peut être stricte. C'est le cas par exemple si l'on prend pour les deux séries xn (rayon 1) d'une part et 1 – x d'autre part (polynôme, donc de rayon infini). La série produit est réduite à 1 (rayon infini). Ou encore, si l'on considère le développement de 1 – x en série entière, le rayon de convergence est 1. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini).

Généralisation aux algèbres de Banach[modifier | modifier le code]

On suppose que A est une algèbre de Banach. Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. En outre, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, et la formule de distributivité généralisée tient toujours.

Par exemple, il est possible de reprendre le calcul du produit de deux exponentielles effectué dans le cas complexe. La seule propriété qui manque pour pouvoir écrire la formule est la possibilité d'appliquer la formule du binôme de Newton, ce qui demande de supposer par exemple que a et b commutent. Sous cette hypothèse

Par exemple, si t,u sont des scalaires on a toujours

en particulier

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Charles G. Denlinger, Elements of Real Analysis, Jones & Bartlett, (lire en ligne), p. 492.
  2. (en) Konrad Knopp, Theory and Application of infinite Series : translated from the Second german Edition, (lire en ligne), p. 321.
  3. Denlinger 2011, p. 489 ; Knopp 1954, p. 148.
  4. Voir Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 199 comme application immédiate du théorème de Banach-Steinhaus, ou (en) Godfrey Harold Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, (1re éd. 1949) (lire en ligne), remarque p. 228 et Theorem I p. 43-46, pour une démonstration (plus longue mais plus élémentaire) d'une propriété générale des méthodes de sommations linéaires régulières (cf. Théorème de Silverman-Toeplitz (en)).
  5. Knopp 1954, p. 488, donne une preuve du cas où α et β sont de plus entiers. (en) E. W. Hobson (en), The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series, vol. 2, CUP, , 2e éd. (lire en ligne), p. 76, démontre le cas général, en signalant que le cas particulier est dû à Cesàro et le cas général à Knopp, suivi d'une preuve plus simple par (en) S. Chapman, « On non-integral orders of summability of series and integrals », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 9,‎ , p. 369-409 (p. 378).
  6. Aksel Frederik Andersen (en), Sur la multiplication de séries absolument convergentes par des séries sommables par la méthode de Cesàro, Copenhague, A.F. Høst & Søn, , 39 p. (lire en ligne), p. 23.