Conjecture abc

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La conjecture abc ou conjecture d'Oesterlé-Masser est une conjecture en théorie des nombres. Elle a été formulée pour la première fois par Joseph Oesterlé (1988) et David Masser (1985). Elle est formulée en termes de trois nombres entiers positifs, a, b et c (d'où son nom), qui n'ont aucun facteur commun et satisfont . Si d est le produit des facteurs premiers distincts de abc, alors la conjecture affirme en gros que d ne peut pas être beaucoup plus petit que c. Plus précisément, le rapport peut prendre des valeurs très grandes mais le rapport est lui borné pour tout .

Dorian Goldfeld l'a qualifié en 2006 de « problème non résolu le plus important en analyse diophantienne[1] » car, si elle était vérifiée, la conjecture permettrait de démontrer aisément le théorème de Fermat-Wiles dans un sens asymptotique, entre autres.

En août 2012, le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki a publié un article sur sa page personnelle où il annonce avoir démontré cette conjecture[2],[3].

Introduction[modifier | modifier le code]

Triplets (a, b, c)[modifier | modifier le code]

Un problème classique en arithmétique est de trouver des triplets (a, b, c) de nombres entiers strictement positifs, premiers entre eux, avec a + b = c où les nombres sont des puissances de nombres entiers (voir le dernier théorème de Fermat). Par exemple[4] :

Tidjman et Zagier conjecturent[5] que l'équation n'a aucune solution avec des exposants (p, q, r) tous supérieurs à 2 et x, y, z des entiers strictement positifs et premiers entre eux.

Un autre problème arithmétique est d'écrire les entiers comme différence de deux puissances (d'exposants supérieurs à 1) de nombres entiers (voir la conjecture de Pillai et le théorème de Catalan). Par exemple :

Plus généralement, on s'intéresse à des triplets (a, b, c) de nombres entiers non nuls (éventuellement négatifs), premiers entre eux, avec a + b = c, où les nombres ont des facteurs premiers petits par rapport aux trois nombres.

Radical et qualité d'un triplet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Radical d'un entier.

Soit (a, b, c) un triplet de nombres entiers (non nuls) tel que c = a + b. Le produit des facteurs premiers de abc est appelé le radical de abc.

On définit la qualité d'un triplet (a ; b ; c) de nombres positifs (avec c = a + b) par :

Un premier exemple[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers qui divisent abc sont 2 et 3.

Le radical du triplet (1 ; 8 ; 9) est le produit des diviseurs premiers de abc : .

On remarque que, dans notre exemple, le radical est plus petit que c, le plus grand des nombres a, b, c : . Les triplets (a, b, c) de nombres positifs, premiers entre eux, avec a + b = c, tels que , sont rares. Par exemple, il n'y en a que six[6] parmi les triplets de nombres inférieurs à 100.

Dans notre exemple la qualité du triplet vaut environ 1,2263 : .

La qualité du triplet (1 ; 8 ; 9) est la puissance à laquelle il faut élever le radical pour obtenir c. On a : .

Les triplets dont le radical est inférieur à c sont ceux qui ont une qualité supérieure à 1.

Deuxième exemple[modifier | modifier le code]

Le radical du triplet (3 ; 125 ; 128) est : , qui est beaucoup plus petit que c.

La qualité du triplet est environ 1,4266 :

On a : .

On voit que la qualité du triplet (a, b, c) est encore inférieure à 2. C'est le cas de tous les triplets de nombres premiers entre eux (a, b, c) dont la qualité a été calculée.

La conjecture abc énonce que les triplets de nombres (positifs et premiers entre eux) pour lesquels n'existent qu'en nombre fini.

Énoncé de la conjecture[modifier | modifier le code]

Soit , alors il existe une constante telle que, pour tout triplet d'entiers relatifs (non nuls) premiers entre eux vérifiant , on ait :

est le radical de n, c'est-à-dire le produit des nombres premiers divisant n.

Formulations équivalentes[modifier | modifier le code]

Une deuxième formulation utilise les logarithmes. En prenant le logarithme dans la première formulation, on obtient :

On peut formuler la conjecture en faisant intervenir la notion de qualité q(a, b, c) d'un triplet (a ; b ; c), définie par

Avec cette notation, la conjecture suppose que pour tout ε > 0, il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a ; b ; c) d'entiers positifs et premiers entre eux tels que : a + b = c et

q(a, b, c) > 1 + ε.

Une autre forme de la conjecture affirme que pour tout ε > 0, il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a ; b ; c) d'entiers positifs et premiers entre eux tels que : a + b = c et

Le cas ε = 0[modifier | modifier le code]

On ne peut pas enlever l'hypothèse dans la formulation de la conjecture. En effet, si on prend[7] :

sont premiers entre eux et on a . De plus, si n > 0, divise[8] , donc :

.

Par conséquent, on a un exemple de triplet (a, b, c) tel que

Le rapport prend des valeurs arbitrairement grandes.

Exemple

Pour n = 2, ,

le triplet (1 ; 80 ; 81) a pour radical :

et .

La qualité du triplet (1 ; 80 ; 81) est environ 1,2920 : . (On a : ).

Exemples de triplets abc de qualité élevée[modifier | modifier le code]

Le triplet (1 ; 4 374 ; 4 375)[modifier | modifier le code]

Un exemple de triplet ayant une qualité élevée est :

Son radical est :

La qualité du triplet (a ; b ; c) est environ 1,5679 :

On a :

Le triplet de Reyssat[modifier | modifier le code]

Éric Reyssat a découvert le triplet qui a la plus grande qualité connue :

Son radical est :

La qualité du triplet (a ; b ; c) est environ 1,6299 :

On a :

Analogie avec les polynômes : le théorème de Mason-Stothers[modifier | modifier le code]

L'idée de la conjecture abc s'est formée par analogie avec les polynômes. Un théorème abc est en effet disponible pour les polynômes sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle[9].

L'analogue pour les polynômes a été démontré par W. Stothers en 1981, et de manière élémentaire par R. C. Mason en 1984. Il se formule ainsi :

Pour tous les polynômes premiers entre eux vérifiant , on a

est le nombre de racines distinctes de abc.

Ce théorème permet de démontrer de manière aisée le théorème de Fermat pour les polynômes : l'équation

sont des polynômes non constants, n'a pas de solutions si .

La tentation est alors grande de trouver un analogue pour les entiers, car il permettrait de démontrer tout aussi facilement le théorème de Fermat dans un sens asymptotique.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Le théorème de Fermat asymptotique[modifier | modifier le code]

En supposant la conjecture abc, on peut démontrer une version asymptotique du théorème de Fermat[7], dans le sens où on montre qu'il existe N tel que pour tout , n'a plus de solutions entières (strictement positives). Ce N dépendrait cependant explicitement de la constante donné par la conjecture abc.

En prenant un positif quelconque, on suppose que x, y et z sont des entiers non tous nuls avec . Quitte à les réorganiser, on les suppose tous positifs et, quitte à les diviser par leur PGCD à la puissance n, on suppose qu'ils sont premiers entre eux. On a donc d'après la conjecture abc :

.

Or . Ceci donne, compte tenu de  :

donc en supposant , on obtient :

Avec , on a ce qui fournit une valeur limite à n dépendant explicitement de .

Autres conséquences[modifier | modifier le code]

La conjecture abc permettrait de prouver d'autres théorèmes importants en théorie des nombres, parmi lesquels :

La conjecture d'Erdős-Woods s'en déduirait également, à un ensemble fini près de contre-exemples[10].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dorian Goldfeld (en), « Beyond the last theorem », The Sciences (en),‎ , p. 34-40.
  2. a+b=c ? : article de Pierre Colmez du 6 septembre 2012 sur Images des mathématiques, à propos de l'annonce de démonstration de la conjecture abc par Mochizuki
  3. Mochizuki, Shinichi, « Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations », Travail en cours,
  4. Prime Numbers, a computational perspective, 2nd edition, Springer, 2005, p. 416
  5. Prime Numbers, a computational perspective, 2nd edition, Springer, 2005, p. 417
  6. Statistiques sur le nombre de triplets abc sur le site www.rekenmeemetabc.nl
  7. a et b Serge Lang, Algebra, 3e édition revue, Springer, 2002, p. 196.
  8. Cela peut se démontrer avec un raisonnement par récurrence en utilisant l'identité remarquable : .
  9. Serge Lang, Algebra, 3e édition revue, Springer, 2002, p. 194.
  10. M. Langevin, « Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc », CRAS, vol. 317, no 5,‎ , p. 441-444

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

ABC@home, projet de calcul réparti utilisant BOINC afin de démontrer la conjecture abc en trouvant tous les triplets (a, b, c) jusqu'à 1018, voire plus.

Liens externes[modifier | modifier le code]