Problème des moments

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Étant donnés un intervalle réel I et une suite (m_n) de nombres, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) \mu telle que pour tout entier naturel n,

m_n = \int x^n~\mathrm d\mu(x)

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique. Si cette mesure existe, elle représente alors la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres m_n.

Cette question est appelée problème des moments :

Existence[modifier | modifier le code]

L'existence d'une mesure de Borel \mu sur {}^\R répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite (m_n) : les matrices de Hankel H_n associées à cette suite, définies par

(H_n)_{i,j}=m_{i+j},~

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné [a,b], il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

Unicité[modifier | modifier le code]

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, \int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, \mathrm{d}x  = 0.
Pour tout \alpha \in \R, on définit g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R par g_\alpha(x) = f(x)\, \left[1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)\right].
Alors : quels que soient \alpha \in \R et n \in \mathbb{N}, m_n(g_\alpha) = m_n(f), bien que g_\alpha \neq f dès que \alpha \neq 0.
Nota 
pour tout \alpha \in \R, \int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, \mathrm{d}x = 1 car m_0(g_\alpha) = m_0(f). Or, si on prend \alpha \in [-1,\, +1], g_\alpha est à valeurs positives : dans ce cas, g_\alpha est une densité de probabilité portée par \R^\star_+\,, distincte de f si \alpha \neq 0, dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de f . Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moment problem » (voir la liste des auteurs)
  • (en) James Alexander Shohat et Jacob Tamarkin (en), The Problem of Moments, New York, AMS, 1943
  • (en) Naum Akhiezer (en), The classical moment problem and some related questions in analysis, traduit du russe par N. Kemmer, New York, Hafner Publishing, 1965
  • (en) M. G. Krein et A. A. Nudelman, The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development, traduit du russe par D. Louvish, Translations of Mathematical Monographs, vol. 50, Providence (RI), AMS, 1977