Discussion:Variable aléatoire

Motif de création

Cet article a été créé après renommage de l'article précédent en variable aléatoire réelle. Il est maintenant nécessaire d'en faire un article général sur les variables aléatoires. Je n'ai pas le niveaux suffisant pour le développer mais je suggère plusieurs axes

1. Variables aléatoire à valeur dans R : renverrait sur l'article détaillé, préciserait la tribu utilisée sur R (tribu lebesgue mesurable je crois), donnerait la définition succinte de l'espérance, variance, fonction de répartition, un peu d'histoire et un exemple
2. Variables aléatoires à valeur dans R^n ou C^n,: indiquerait ce qui change : tribu utilisée, Espérance (nature vectorielle) , variance (nature réelle ?), pas de fonction de répartition, un exemple serait bienvenu
3. Autres. Là, je ne sais pas ce qu'on peut mettre, un exemple peut-être ?

Enfin, tout ceci n'est qu'indicatif pour celui qui accepterait de reprendre l'article. Il faudrait aussi savoir comment on fait le lien interwiki : la plupart des articles d'autres langues traitent exclusivement le cas réel. Bon, voilà tout ce que je peux faire pour cet article. HB (d) 29 juillet 2008 à 13:05 (CEST)

Premiers développements

J'ai un peu commencé dans la voie indiquée par HB, et si personne ne fait avancer l'article d'ici-là, je m'y remettrai vers Novembre. Nota: il peut arriver qu'une v.a. ne soit ni discrète ni continue, par exemple pour être prosaïque, si la durée de vie $\ \scriptstyle X$ d'un composant genre amortisseur de bagnole suit une loi à densité (disons de densité $\ \scriptstyle \ f\$), et si on décide de changer par précaution tout amortisseur d'age supérieur à $\ \scriptstyle T\$ unités de temps, alors la loi de la durée d'utilisation $\ \scriptstyle Y=X\wedge T\$ d'un amortisseur aura une partie à densité, de densité $\ \scriptstyle \ f(t)\ 1_{[0,T]}(t)$, et une masse ponctuelle $\ \scriptstyle \int _{T}^{+\infty }\ f(u)\ du\$ au point $\ \scriptstyle T$. Ainsi l'ensemble des valeurs de $\ \scriptstyle Y$ est $\ \scriptstyle [0,T]$ (infini non dénombrable), mais la fonction de répartition de $\ \scriptstyle Y$ présente malgré tout une discontinuité en $\ \scriptstyle T$ : $\ \scriptstyle Y$ n'est ni discrète ni continue.

Autres choses à faire:

1. développer un exemple dans le même goût que la particule, mais côté maths financières, historique de la valeur d'une action p.e., avec dans ce cas $\ \scriptstyle E=C(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} _{+})$.
2. développer un exemple de v.a. à valeur mesure, par exemple un processus ponctuel de Poisson, avec interprétation concrete et v.a.r. concrètes lui étant associées : il s'agit d'expliquer pourquoi les v.a.r. ne sont pas les seules v.a. concrètement intéressantes, en réponse à la discussion qui a présidé à la création de cet article.
3. il faudrait tenter de montrer qu'il est parfois plus opératoire concrètement de voir le mouvemnt Brownien comme une seule v.a. à valeurs dans un espace de fonctions, plutôt que comme une collection de v.a.r.
4. discuter la loi d'une variable générale, et l'égalité en loi de deux variables générales (p.e. discuter le lemme d'unicité des mesures de probabilités, et ses conséquences concrètes en terme de critères d'égalité en loi, de critères d'indépendance) --Chassaing 30 juillet 2008 à 09:54 (CEST)

D'accord sur tous les points (sauf le "Nota" voir plus bas). Si l'on doit évoquer des variables aléatoires sur des espaces de fonctions, il faudrait modifier l'introduction pour y faire allusion. Tout ces points devraient enrichir l'article. J'ai hâte de le lire... en novembre ;-). HB (d) 30 juillet 2008 à 10:30 (CEST)

Variable aléatoire continue ou auberge espagnole

Dans mes cours, hélas manuscrit, j'ai explicitement "une variable aléatoire réelle ne peut être que discrète (prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs) ou continue (prend un nombre infini non dénombrable de valeurs)." Cette définition se retrouve ici ou là sur le net. On la dit sans atome (ou diffuse) si, pour tout a, P(X=a)=0 (i.e., pour des v.a.r., sa fonction de répartition est continue).

Mais sur le net, on trouve de tout. Une v.a.r. serait continue ssi elle prend toutes les valeurs de R ou d'un intervalle de R, elle serait continue si elle possède une densité de probabilité. On trouve aussi la notion d'absolument continue pour les v.a.r. à densité. Bref, on n'est pas sorti de l'auberge et il va falloir sourcer par des auteurs reconnus. HB (d) 30 juillet 2008 à 10:21 (CEST)

tout à fait d'accord pour sourcer, mais je suis à Cracovie, loin de mes livres. Mon souvenir est que les termes diffus, sans atome, à densité sont bien définis mathématiquement : la terminologie vient de la théorie de la mesure. Probablement continue est un terme plus ancien, hérité du temps où les probabilités n'avaient pas été formalisées rigoureusement via la théorie de la mesure, d'un temps où le bestiaire complet de toute les lois de probabilités sur R n'était pas bien connu, et où le souci de rigueur dans la classification était moins présent. Il est très entaché d'ambiguité, comme tu l'as expliqué, et à cause de cela il vaut peut-être mieux l'abandonner.

• Si continue signifie à densité alors à densité est meilleur car dépourvu d'ambiguité.
• Si continue signifie diffus ou sans atome alors diffus ou sans atome sont meilleurs car dépourvus d'ambiguité. Il vaut mieux rester précis et parler alors de fonction de répartition continue (mea culpa).
• Si une v.a.r. est continue lorsqu'elle prend toutes les valeurs de R ou d'un intervalle de R, alors la notion de continuité d'une variable est peu opératoire (en tout cas, je ne l'ai pas vu être utilisée de manière efficace) et possède toujours le défaut d'être entachée d'ambiguité.

Par ailleurs, que fait-on alors d'une v.a.r. dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor: fonction de répartition continue, espace des valeurs ayant la puissance du continu, puisque son espace de valeurs est l'ensemble de Cantor, et pourtant cette variable ne serait pas continue selon le critère énoncé juste au dessus (incidemment, cette variable n'est ni discrète, ni continue, même dans la dernière acception du terme continu).--Chassaing 30 juillet 2008 à 10:50 (CEST)

j'ai jeté un coup d'œil sur tes deux sources, qui ne m'ont pas convaincu. J'aimerais avoir le cours de Probabilités de Neveu à l'école polytechnique sous la main, ce serait une référence. Le point étant délicat, il faudrait un cours ou l'on parle de l'escalier de Cantor (ce serait le test que le cours en question ne sursimplifie pas la situation). Mais il me revient la raison pour laquelle il serait logique d'utiliser le terme continu pour la loi ou bien pour la v.a.r. ssi la fonction de répartition est continue: c'est que parallèlement, il est une terminologie bien établie : une loi, une v.a.r., ou une mesure, est absolument continue (par rapport à la mesure de Lebesgue, implicitement) ssi sa fonction de répartition est absolument continue. Ainsi il y a une logique commune au deux terminologies, ce qui est plus facile pour les débutants. Ainsi on aurait

• à densité=absolument continue
• diffuse=sans atome=continue.

Qu'il y ait plusieurs termes pour la même notion est monnaie courante en proba, où il a fallu intégrer l'apport de la théorie de la mesure et de sa terminologie, à partir de 1930, alors qu'il y avait une terminologie bien développée, et intuitive, déjà existante.

Par ailleurs, la définitionune v.a.r. est continue lorsqu'elle prend toutes les valeurs de R ou d'un intervalle de R est génante car

• prendre toutes les valeurs n'a pas beaucoup de sens si l'on remarque qu'une v.a. X uniforme sur [0,1] a une proba nulle d'être égale à un réel précis de l'intervalle [0,1], donc ne prend aucune valeur de l'intervalle [0,1], en un certain sens.
• une variable X uniforme sur $\scriptstyle [0,1]\cup [2,3]$ n'est pas continue d'après ce critère, alors qu'elle est à densité, donc absolument continue.

cette discussion est étroitement liée à cette autre discussion--Chassaing 2 août 2008 à 14:17 (CEST)

Je n'adhère à aucune des définitions que j'ai évoquées (sauf éventuellement à celle d'absolue continuité), je les ai citées pour signaler l'ampleur du problème. On pourrait éluder la question et ne pas parler de variable continue mais il me semble qu'il est préférable d'évoquer le problème dans l'article quitte à dire que ce terme n'est pas défini rigoureusement et qu'il vaut mieux ne pas l'utiliser. . Concernant la définition que j'utilise (continue = non discret), les sources que j'ai mises ne sont pas plus convaincantes que l'infâme note de cours qui me sert de référence. Elles permettent juste de dire qu'à une certaine époque, certaines personnes définissaient le terme "continu" comme le contraire de discret. Bien entendu, je suis allée regarder chez Neveu mais,... Neveu n'en parle pas (cours de 1976). Il évoque seulement le cas des variables entières (à valeurs dans Z^n) et des variables possédant une densité de probabilité, il signale que celles-ci ont alors une fonction de répartition continue mais que cette propriété n'est pas caractéristique des variables à densité. Il appelle diffuse une variable dont la fonction de répartition est continue (ce qui va dans ton sens de préférer diffus à sans atome). Incidemment, cela me gêne d'entendre parler de densité de probabilité pour une variable discrète (voir variable aléatoire réelle) avec référence aux distributions de Dirach (mais je suis fâchée avec les distributions de Dirach). Accessoirement, Neveu déplore l'importance excessive accordée à la fonction de répartition. Donc il faudra chercher ailleurs l'usage du terme continu. Mon infâme note de cours fait référence à Feller, c'est peut-être là que l'on trouvera la définition des termes. Mais cela attendra bien octobre et/ou ton retour de Cracovie. HB (d) 2 août 2008 à 17:50 (CEST)

j'adore le Feller (je lui dois beaucoup de joies), précisément pour ce que préfère en proba, l'étude fine des marches aléatoires, des processus de branchement, mais pour le côté "théorie de la mesure" (qui m'intérese moins) il est un peu vieilli, et peu ergonomique, je pense. Peut-être Integration Et Probabilites. Analyse De Fourier Et Analyse Spectrale, Paul Malliavin, Masson, Paris est-il une bonne référence ? --Chassaing 2 août 2008 à 21:01 (CEST)

Bonjour,

Ne pourrait-on pas introduire un peu plus les notions, dans le cadre des variables aléatoires réelles, des différences entre espace probabilisés {discret ou continu}, et variable {discrète ou continue}. Il me semble ( mais ça n'est qu'une supposition !) :

- qu'un espace mesurable (probabilisé->mesuré) discret est un ensemble fini ou dénombrable muni de la tribu discrète de cet ensemble ( l'ensemble des parties d'un ensemble de réels dans notre cas ) (auquel on ajoute une mesure de probabilité définie sur cet ensemble mesurable).

- qu'un espace mesurable (probabilisé->mesuré) continu pour les réels se résume à un borélien muni de la tribu borélienne des réels (auquel on ajoute une mesure de probabilité défini sur cet ensemble mesurable.)

- qu'une variable aléatoire discrète est une application mesurable "à valeurs dans un espace mesurable discret" ( donc elle peut très bien être définie sur un espace probabilisé discret ou sur un espace probabilisé continu, sous réserve de la mesurabilité bien entendu )

- qu'une variable aléatoire continue "définie" sur un espace mesurable continu est bien définie et existe (toujours sous la condition de mesurabilité) , mais qu'en revanche une variable aléatoire continue "définie" sur un espace réel probabilisé discret n'existerai pas en raison du caractère "mesurable" nécessaire d'une variable aléatoire.

Si quelqu'un pouvait avoir le courage de mieux définir ces notions ( éventuellement les rectifier ;-) ) et de les intégrer au sujet, cela pourrait peut être permettre aux débutants ( comme moi ) d'y voir plus clair... Merci !

---D'ailleurs , étant "nouveau" pour Wikipédia, et "débutant" sur les notions mathématiques, je ne sais pas si ce que j'ai dit devrait se placer dans le sujet "variables aléatoires réelles" ( car c'est bien ce ont je parle ici ) ou dans celui-ci "variable aléatoire" ( car on peut parler ici de mesurabilité et pas dans "variable aléatoire réelles" comme indiqué dans la page de discussion ), difficile donc de choisir... ( au passage, un petit rappel de la définition de variable aléatoire sous la forme d'une formule mathématique visuelle pourrait être sympa, et de faire de même pour distinguer les différents cas ( évite d'écrire un paragraphe très "lourd" dans lequel on se perd assez vite... ). Egalement, des petits exemples sous forme de graphes de fonctions pour illustrer ( sans être des preuves ) sont faciles pour tous ces cas, et permettrait également de mieux saisir les différents concepts... ) 217.128.146.178 (d) 31 décembre 2011 à 12:56 (CET)

Différence variable aléatoire et loi de probabilité

L'article Loi de probabilité a une section consacrée à la définition de loi de probabilité loi de probabilité#Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle, qui est faite aussi selon la théorie de la mesure. Il serait intéressant peut-être de discuter cette définition et mettre en relation, expliquer les différences entre les deux concepts si quelqu'un est à l'aise avec ça?EtudiantEco (d) 1 août 2008 à 18:25 (CEST)

La loi de probabilité d'une v.a.r. est caractérisée et classifiée assez commodément via sa fonction de répartition. Il y a effectivement besoin d'une mise en cohérence entre les articles variable aléatoire, variable aléatoire réelle, loi de probabilité et fonction de répartition. Les liens entre ces notions sont étroits, et les abus de langages (commodes, par ailleurs) favorisent les confusions. Le recours à la théorie de la mesure pour clarifier tout cela a été crucial dans les années 1930, mais les ingénieurs (et de grands anciens comme Laplace, Poisson, Paul Levi) ont pu être efficaces sans ce lourd appareil auparavant. Il y a un équilibre à trouver entre rigueur, exactitude, précision d'un côté, efficacité, facilité de lecture et vulgarisation de l'autre. C'est un sacré boulot, avec peut-être des controverses épuisantes sur des points de détail.

• Par exemple on peut lire dans Loi de probabilité#Exemples de lois continues:

En outre, si la densité $df_{X}$ est continue par rapport à la Mesure de Lebesgue alors:

$P(a<X<b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx$

ce qui n'est pas le vocabulaire que je connais. On dit plutôt, dans mon souvenir,

En outre, si la loi de probabilité $\mathbb {P} _{X}$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue alors cette loi de probabilité possède une densité $f_{X}$ par rapport à la Mesure de Lebesgue. En particulier, il en résulte que :

$P(a<X<b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.$

• Par ailleurs le même article Loi de probabilité laisse penser que les seules v.a.r. discrètes sont celles à valeurs entières positives.

Il y a aussi un débat non clos (voir p.e. le paragraphe ci-dessus Variable aléatoire continue ou auberge espagnole) sur la terminologie : continue, absolument continue, etc ..., où, à mon avis, on a intérêt à être conforme avec l'enseignement dispensé dans nos meilleurs établissements d'enseignement supérieur (universités parisiennes, Ulm, Polytechnique, etc ...), si l'on veut être un outil utile par exemple aux étudiants. En même temps, cela reviendra finalement à s'aligner sur des avis compétents. L'article Absolue continuité, notamment les 2 sections Mesure absolument continue et Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue contiennent déjà une partie des réponses, à mon avis. --Chassaing 2 août 2008 à 11:45 (CEST)

À propos du mot "évènement" et de son sens habituel en calcul des probabilités

L'introduction de l'article utilise le mot "évènement" en un sens qui n'est pas son sens usuel, d'où un risque de confusion ; l'ensemble $\Omega$ n'est pas (au sens usuel) l'ensemble des évènements, mais l'ensemble des résultats possibles de l'expérience aléatoire. Un évènement est un sous-ensemble mesurable de $\Omega$, i. e. appartenant à la tribu sur laquelle est définie la mesure de probabilité utilisée dans la modélisation (un évènement n'est pas un résultat, mais un ensemble de résultats). En d'autres termes, c'est (par exemple) la mesure de probabilité qui est définie sur l'ensemble des évènements, mais pas une variable aléatoire, qui est une application définie sur l'ensemble $\Omega$ des résultats. À la rigueur, si on décide de confondre chaque élément $\omega$ de $\Omega$ avec l'évènement élémentaire $\{\omega \}$, on peut dire qu'une v. a. est une application définie sur l'ensemble des évènements élémentaires. La même remarque s'applique à l'article Vecteur aléatoire. --Vivarés (d) 5 mars 2009 à 18:14 (CET)

Exact, j'ai laissé passer cela, pour ma part (mille excuses) : il me semble qu'un élément $\omega$ de $\Omega$ est parfois appelé une éventualité, un évènement étant donc un ensemble d'éventualités. Remplacer évènement par éventualité devrait faire l'affaire, qu'en pensez vous ?? ...--Chassaing 5 mars 2009 à 18:57 (CET)

J'ai trouvé (dans Métivier notamment), pour désigner l'ensemble $\Omega$: espace des issues ou espace des épreuves ou espace des éventualités ou encore espace fondamental (fin de citation). Ainsi, éventualité est attesté. Je ne sais si le terme d'épreuve est souvent utilisé pour désigner les éléments de $\Omega$, mais en tout cas, ce n'est pas le sens qu'on rencontre quand on parle d'épreuves indépendantes, ou de Bernoulli. --Vivarés (d) 6 mars 2009 à 11:33 (CET)

Désolé, mais vous touchez du doigt une incohérence de notation sur l'univers en probas. En probabilités discrètes, l'univers est effectivement l'ensemble des évènements élémentaires (issues ou éventualités), tandis qu'en théorie générale des probabilités, cet ensemble est plutôt noté X et l'univers Ω est au contraire l'ensemble des parties mesurables pour la loi de probabilité μ (c'est-à-dire l'ensemble des évènements). Ambigraphe, le 11 mars 2009 à 10:52 (CET)

Il n'y a aucune ambigüité ni incohérence, et les probabilités discrètes ne font pas exception. L'ensemble des parties mesurables pour la loi de probabilité est la tribu ${\mathcal {B}}$ des évènements (évènement et partie mesurable sont synonymes), tribu qui est un ensemble de sous-ensembles de Ω (je parle ici d'une modélisation par un espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {B}},\mathbb {P} )$). Les évènements sont certes inclus dans l'univers Ω, mais ils appartiennent à la tribu ${\mathcal {B}}$ et non pas à Ω (ne pas se tromper de niveau, et confondre "être inclus dans" avec "appartenir à").
Si ta remarque consistait simplement à dire que certains notent $(X,\Omega )$ au lieu de $(\Omega ,{\mathcal {B}})$, elle ne correspond pas aux habitudes majoritaires des probabilistes ; en particulier, la notation $\Omega$ pour désigner l'ensemble fondamental, ou univers, ou encore sample space en anglais est devenue usuelle (et il est d'usage de noter X, Y... des variables aléatoires).--Vivarés (d) 11 mars 2009 à 12:46 (CET)

Temps d'arrêt

Il est toujours difficile de trier dans les exemples. Pour l'instant, ceux qui étaient donnés avaient pour but d'illustrer de grandes familles de variables aléatoires selon leur ensemble image (réelle, vectorielle, discrète, fonctionnelle). L'exemple du temps d'arrêt, ajouté hier, ne remplit pas ce rôle, ce n'est qu'un exemple compliqué de variable aléatoire discrète. Il me semble donc qu'on devrait pouvoir le supprimer. HB (d) 12 juillet 2013 à 07:34 (CEST)

L'exemple niveau 1er S

Ce court article sur les variables aléatoires se voulait très généraliste et était destiné à renvoyer vers l'article variable aléatoire réelle pour tout ce qui concerne les valeurs réelles, c'est-à-dire typiquement les sommes de faces de dés et les gains d'une partie. C'est pourquoi la section "Mettre en situation un problème avec une variable aléatoire" ne me semble ni judicieuse (pour ses variables à tiroir) ni appropriée au contenu de cet article. J'ai pour l'instant corrigé en l'explicitant une erreur plusieurs fois mise dans l'article mais souhaite in fine la supprimer sauf avis contraire. HB (discuter) 14 août 2018 à 19:50 (CEST)

HB (discuter) 28 octobre 2018 à 13:28 (CET)