Vecteur aléatoire

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Un vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle

Définition[modifier | modifier le code]

Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de \R^n :

X:\omega\mapsto X(\omega)=(X_{1}(\omega),X_{2}(\omega),\dots ,X_{n}(\omega))

\omega est l'élément générique de \Omega, l'espace de toutes les éventualités possibles.

Les applications X_{1},\dots, X_{n} sont des variables aléatoires réelles appelées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors X=(X_{1},\dots, X_{n}).

Une application X de (\Omega,\mathcal{F}) (définie sur \Omega), à valeurs dans l'espace \mathbb{R}^n muni de la tribu des boréliens de \mathbb{R}^n, est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

Soit X=(X_{1},\dots, X_{n}) un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition F : \R^n \to \R est ainsi définie :

F(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathbb{P}((X_{1}\leq x_{1})\cap \cdots \cap (X_{n}\leq x_{n}))

Indépendance de vecteurs aléatoires[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée est égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) un espace probabilisé X(\Omega)=\{x_{1},...,x_{p}\}\\ Y(\Omega)=\{y_{1},...,y_{q}\}\\ Z(\Omega)=\{z_{1},...,z_{r}\}\\

\mathbb{P}(X=x_{i},Y=y_{i},Z=z_{i}) = \mathbb{P}(X=x_{i}).\mathbb{P}(Y=y_{i}).\mathbb{P}(Z=z_{i})

Vecteur gaussien[modifier | modifier le code]

Un vecteur aléatoire de dimension n est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.

Définition — Soit \scriptstyle\ X = (X_{1},X_{2},...,X_{n}) un vecteur aléatoire. \scriptstyle\ X est gaussien si et seulement si, pour toute suite \scriptstyle\ a_{1},a_{2},...,a_{n} de nombres réels, la variable aléatoire

Z = a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + \cdots + a_{n}X_{n}

est une variable gaussienne.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Patrick Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck Université, 2006, Bruxelles
  • Alain Cambrouze, Probabilités1, Presses Universitaires de France, 1996, Paris
  • Yves Ducel, Introduction à la théorie mathématique des probabilités, Ellipses , 1998, ISBN 2-7298-9820-4
  • Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie des probabilités, Ellipses , 1996, ISBN 2-7298-4688-3

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]