Table de lignes trigonométriques exactes

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Cercle trigonométrique et angles remarquables

Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de radicaux. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral) et de 36° (dans le pentagone régulier) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles.

Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat, or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3 et 5.

Tables de valeurs[modifier | modifier le code]

Table de lignes trigonométriques exactes
angle sinus cosinus tangente cotangente
0° = 0 rad 0 1 0 (valeur interdite) angle nul
15° = π/12 rad \frac{\sqrt 2 \left(\sqrt 3 - 1\right)}{4} \frac{\sqrt 2 \left(\sqrt 3 + 1\right)}{4} 2 - \sqrt 3 2 + \sqrt 3 dodécagone régulier
18° = π/10 rad \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4} \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5} \sqrt{5 + 2 \sqrt 5} décagone régulier
22,5° = π/8 rad \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{2}-1 \sqrt{2}+1 octogone régulier
30° = π/6 rad \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt 3 hexagone régulier
36° = π/5 rad \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4} \frac{\sqrt 5+1}{4} \sqrt{5 - 2\sqrt 5} \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5} pentagone régulier
45° = π/4 rad \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 1 carré

Par soustraction, on obtient une expression pour les lignes trigonométriques d'un angle de 3°, c'est-à-dire π/60 rad, puis de tous ses multiples.

Il n'existe pas d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1°, mais il en existe une formulée à l'aide de racines cubiques de nombres complexes.

Article détaillé : trisection de l'angle.

\sin\frac{\pi}{9}=\sin 20^\circ=\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{16}+\sqrt{-\frac{1}{256}}}+\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{16}-\sqrt{-\frac{1}{256}}}=2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{\mathrm i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{\mathrm i+\sqrt{3}}) \cos\frac{\pi}{9}=\cos 20^\circ=2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{1+\mathrm i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{1-\mathrm i\sqrt{3}})

Applications[modifier | modifier le code]

Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du dodécaèdre régulier en fonction de son arête a : V = \frac{5a^3\cos{36^\circ}}{\tan^2{36^\circ}} = \frac{ a^3\left(15 + 7 \sqrt 5 \right)}{4}.

Triangles de dérivation[modifier | modifier le code]

Polygone régulier (à N côtés) et son triangle droit fondamental, d'angle au centre 180/N°

La dérivation des constantes de sinus, cosinus et tangente sous formes radiales est basée sur la constructibilité des triangles droits.

Ici se trouvent des triangles droits faits à partir de sections symétriques de polygones réguliers qui sont utilisés pour calculer les rapports trigonométriques fondamentaux. Chaque triangle droit représente trois points dans un polygone régulier : un sommet, un centre d'arête contenant ce sommet et le centre du polygone. Un N-gone peut être divisé en 2N triangles droits avec des angles de \{\frac{180}{N}, 90-\frac{180}{N}, 90\}\, degrés, pour N = 3, 4, 5, ...

Construction[modifier | modifier le code]

Lignes élémentaires[modifier | modifier le code]

Les lignes trigonométriques pour les angles de 0°, 90°, 45°, 30° et 60° peuvent être calculés dans le cercle trigonométrique à l'aide du théorème de Pythagore.

Division d'un angle en cinq[modifier | modifier le code]

Les formules \sin{5x} = 16 \sin^5 x - 20\sin^3 x + 5 \sin x\, et \cos{5x} = 16 \cos^5 x - 20\cos^3 x + 5 \cos x\, permettent de résoudre les équations \sin 5x = 0 ou \cos 5x = 0 en se ramenant à l'équation 16 y^5 - 20 y^3 + 5y = 0\,. Cette dernière équation a pour solution évidente 0 et en posant le changement de variable Y = y^2, se réduit à une équation quadratique 16Y^2 - 20 Y + 5 = 0.

Pour résoudre \sin 5x = 1 ou \cos 5x = 1, il suffit de résoudre de manière analogue l'équation 16 y^5 - 20 y^3 + 5y - 1 = 0 qui se factorise sous la forme (y - 1)(4y^2 + 2y - 1)^2 = 0.

Simplification des expressions[modifier | modifier le code]

Si le dénominateur est une racine carrée, multiplier le numérateur et le dénominateur par ce radical.

Si le dénominateur est la somme ou la différence de deux termes, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué est identique, excepté le signe entre les termes qui est changé.

Quelquefois, séparer la fraction en somme de deux fractions, puis les simplifier séparément peut aider.

S'il existe un terme compliqué, avec seulement une sorte de radical dans un terme, ce plan peut aider. Élever au carré le terme, combiner les termes qui se ressemblent et prendre la racine carrée. Ceci peut enlever un gros radical avec un radical plus petit à l'intérieur, mais il est souvent meilleur que l'original.

Article détaillé : radical imbriqué.

En général, les radicaux imbriqués ne peuvent pas être réduits.

Mais si pour  \sqrt{a + b\sqrt c}\,,

 R = \sqrt{a^2 - b^2 c}\, est rationnel,

et pour les deux  d = \pm \sqrt{ \frac{ a \pm R }{2}} et  e = \pm \sqrt{ \frac{ a \pm R }{2c}} sont rationnels,

avec le choix approprié pour les quatre signes \pm\,,

Alors  \sqrt{a + b\sqrt c} = d + e\sqrt c\,

Exemple 
 4\sin 18^\circ = \sqrt{6 - 2 \sqrt 5} = \sqrt 5 - 1

Moyen mnémotechnique[modifier | modifier le code]

On peut se restituer une partie de la table on considérant la suite « racine de n sur deux » :

n Angle sin
0 0 \frac{\sqrt{0}}{2} = 0
1 30°, π/6 \frac{\sqrt{1}}{2} = 0,5
2 45°, π/4 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
3 60°, π/3 \frac{\sqrt{3}}{2}
4 90°, π/2 \frac{\sqrt{4}}{2} = 1

La valeur du cosinus est obtenue en lisant la table à l'envers.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]