Nombre pentagonal

Un nombre pentagonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un pentagone. Un nombre pentagonal de rang n est défini par

$n(3n-1)\over 2$

n étant un entier naturel non nul.

Exemples

Les premiers nombres pentagonaux sont

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001

Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des partages d'entiers d'Euler, et ils interviennent par exemple dans son théorème du nombre pentagonal.

Généralisation

Les nombres pentagonaux « généralisés » sont obtenus à partir de la formule donnée ci-dessus, mais avec n prenant les valeurs 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., produisant la suite

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027

Remarques

Le nombre pentagonal de rang n est égal à un tiers du nombre triangulaire de rang 3n - 1.

Les nombres pentagonaux ne devraient pas être confondus avec les nombres pentagonaux centrés.

Test des nombres pentagonaux

Pour savoir si un nombre entier x est un nombre pentagonal (non généralisé) on calcule le réel suivant:

$n= \frac{\sqrt{24x+1}+1}6$

Si n est entier alors x est le n^ème nombre pentagonal. Si n n'est pas entier alors x n'est pas un nombre pentagonal.

Voir aussi

• Théorème du nombre pentagonal

Lien externe

• Nombre pentagonal