Nombre pentagonal

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Un nombre pentagonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un pentagone. Un nombre pentagonal de rang n est défini par

n(3n-1)\over 2

n étant un entier naturel non nul.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres pentagonaux sont

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001

Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des partages d'entiers d'Euler, et ils interviennent par exemple dans son théorème des nombres pentagonaux.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Les nombres pentagonaux « généralisés » sont obtenus à partir de la formule donnée ci-dessus, mais avec n prenant les valeurs 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., produisant la suite

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027

Remarques[modifier | modifier le code]

Le nombre pentagonal de rang n est égal à un tiers du nombre triangulaire de rang 3n - 1.

Les nombres pentagonaux ne devraient pas être confondus avec les nombres pentagonaux centrés.

Test des nombres pentagonaux[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre entier x est un nombre pentagonal (non généralisé) on calcule le réel suivant:

 n= \frac{\sqrt{24x+1}+1}6

Si n est entier alors x est le nème nombre pentagonal. Si n n'est pas entier alors x n'est pas un nombre pentagonal.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]