Dodécaèdre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En géométrie, un dodécaèdre est un polyèdre à douze faces. Puisque chaque face a au moins trois côtés et que chaque arête borde deux faces, un dodécaèdre a au moins 18 arêtes.

Dodécaèdres particuliers[modifier | modifier le code]

Certains ont des propriétés particulières comme des faces régulières ou des symétries :

Pyritoèdre[modifier | modifier le code]

Pyritoèdre
Pyritohedron.png
Un pyritoèdre possède 30 arêtes, réparties en deux groupes de longueur différente, comprenant 24 et 6 arêtes.
Polygone des faces pentagone irrégulier
Diagrammes de Coxeter CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Faces 12
Arêtes 30 (6+24)
Sommets 20 (8+12)
Groupe de symétrie Th, [4,3+], (3*2), ordre 24
Groupe de rotation T, [3,3]+, (332), ordre 12
Dual Pseudoicosaèdre
Propriétés convexe
Patron
Pyritohedron flat.png

Un pyritoèdre est un dodécaèdre à symétrie pyritoédrique (Th). Comme le dodécaèdre régulier, il a douze faces pentagonales identiques, dont trois se coupent en chacun des 20 sommets. Cependant, les pentagones ne sont pas nécessairement réguliers, et la structure ne possède donc normalement pas d'axes de symétrie d'ordre 5. Ses trente arêtes sont divisées en deux groupes - contenant respectivement 24 et 6 arêtes de la même longueur.

Bien que le dodécaèdre régulier n'existe pas dans les cristaux, la forme déformée du pyritoèdre s'observe dans le cristal de pyrite, et peut avoir inspiré la découverte de la forme régulière du solide de Platon.

Cristal de pyrite[modifier | modifier le code]

Son nom provient d'une des formes cristallines courantes de la pyrite, l'autre étant cubique.

Pyriteespagne.jpg
Pyrite cubique
Pyrite cristal.jpg
Pyrite pyritoédrique
Ho-Mg-ZnQuasicrystal.jpg quasi-cristal
de Ho-Mg-Zn

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le code]

Pyritohedron animation.gif

Coordonnées de 8 des sommets :

(±1, ±1, ±1)

Les coordonnées des 12 autres sommets sont les permutations de :

(0, 1+h, 1−h2)

h est la hauteur du toit en coupole au-dessus des faces du cube. Quand h=1, 6 des arêtes dégénèrent en points, ce qui forme un dodécaèdre rhombique. Pour le dodécaèdre régulier, h=(√5+1)/2, le nombre d'or.

Degrés de liberté géométriques[modifier | modifier le code]

Le pyritoèdre a des degrés de liberté géométriques avec les cas limites d'une enveloppe convexe cubique comme limite avec des arêtes colinéaires, et un dodécaèdre rhombique comme autre limite lorsque 6 arêtes sont réduites à une longueur nulle. Le dodécaèdre régulier représente un cas particulier spécifique où tous les angles et les arêtes sont égaux.

Cas particuliers du pyritoèdre
1 : 1 1 : 1 2 : 1 1.3092... : 1 1 : 1 0 : 1
h=0 h=(√5−1)/2 h=1
Great stellated dodecahedron.png
Étoile régulière du grand dodécaèdre étoilé, avec des pentagones déformés en pentagrammes réguliers
Concave pyritohedral dodecahedron.png
Dodécaèdre pyritoédrique concave
Pyritohedron cube.png
Un cube peut être transformé en un pyritoèdre en découpant toutes les arêtes et toutes les faces dans des directions croisées.
Irregular dodecahedron.png
Proportions géométriques du pyritoèdre dans la structure de Weaire-Phelan
Dodecahedron.png
Un dodécaèdre régulier est un cas intermédiaire dont les arêtes sont de longueur identique.
Rhombicdodecahedron.jpg
Un dodécaèdre rhombique est le cas limite où la longueur de 6 des arêtes est réduite à zéro.

Un dodécaèdre régulier peut être construit à partir d'un cube de la façon suivante : la face carrée supérieure du cube est remplacée par un "toit" composé de deux pentagones, joints le long du sommet du toit. Les diagonales des pentagones parallèles au sommet du toit coïncident avec les deux côtés opposés du carré. De la même façon, les 5 autres faces carrées sont remplacées par une paire de pentagones. Le pyritoèdre est finalement construit en changeant la pente de ces "toits".