Théorème de Borel

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En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2],[3],[4],[5], ou lemme de Borel[6], est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano[7],[8] et en 1895 par Émile Borel[9]. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond[10] avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Énoncé simple[modifier | modifier le code]

Pour toute suite (a_n) de nombres complexes, il existe une fonction f de classe C^{\infty}, d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

\forall n \in \N\quad f^{(n)}(0)=a_n.

Conséquence[modifier | modifier le code]

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0, il suffit en effet de prendre la fonction f associée à la suite \left((n!)^2\right).

Énoncé général[modifier | modifier le code]

Soit U un ouvert de \R^n et (f_n) une suite de fonctions de classe C^\infty à valeurs complexes sur U. Alors il existe une fonction F=F(t,x) de classe C^\infty à valeurs complexes sur \R \times U, solution de l'équation aux dérivées partielles :

\forall k \in \N\quad\forall x \in U\qquad\frac{\partial^k F}{\partial t^k}(0,x) = f_k(x).

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat[11].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3
  2. Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76
  3. Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 88
  4. Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74
  5. Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127
  6. Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31
  7. (it) A. Genocchi, G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale, Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraphe 67.
  8. (en) Ádám Besenyei, « Peano's Unnoticed Proof of Borel's Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 121, no 1,‎ janvier 2014, p. 69-72 (lire en ligne).
  9. É. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (en) 12 (1895) 9-55.
  10. (de) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. Klasse (1876) 225-237, ou bien Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
  11. (en) Martin Golubitsky (de) et Victor Guillemin (en), Stable mappings and their singularities, New York, Springer, coll. « GTM » (no 14),‎ 1974, 3e éd., 209 p. (ISBN 978-0-387-90073-5, LCCN 73018276)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Sommation de Borel