Ensemble parfait

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Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».

Exemples[modifier | modifier le code]

L'ensemble vide est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor \{0,1\}^\N. Plus généralement, l'espace produit \{0,1\}^I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est donné par l'ensemble \{ \sum_{n \in E} a_n, E \subset \mathbb N\}\sum a_n est une série absolument convergente de complexes telle que, pour tout N, \sum_{n>N} |a_n|<|a_N|.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si P^0 est une partie fermée de \mathbb R ou de \mathbb R^n, on définit le dérivéP' = P^1 de P^0 comme l'ensemble des points d'accumulation de P^0. Pour tout ordinal \alpha, on pose P^{\alpha+1} = (P^{\alpha})', et, si \alpha est un ordinal limite, P^{\alpha} = \cap_{\beta<\alpha} P^{\beta}. Si \Omega désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que[3] :

  • Ou bien P^{\Omega} = \varnothing. On dit que P^0 est réductible ;
  • Ou bien P^{\Omega} \neq \varnothing et c'est un ensemble parfait. P^0 est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un ensemble parfait non vide de ℝ n'est pas dénombrable[4].

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson (en).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Jacques Gabay,‎ 1995 (1re éd. 1905, Gauthier-Villars), p. 54-57
  2. Jean-Marie Arnaudiès, L'intégrale de Lebesgue sur la droite, Vuibert, 1997, p. 18-20
  3. Baire 1995, p. 64-68
  4. Baire 1995, p. 61

Article connexe[modifier | modifier le code]

Espace parfait (en)