Automate fini

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Automate.
Fig. 1 : Automate fini reconnaissant les écritures binaires des multiples de 3.

Un automate fini (on dit parfois, par une traduction littérale maladroite de l'anglais, machine à états finis, au lieu de machine avec un nombre fini d'états), state automaton ou finite state machine (FSA, FSM), est une machine abstraite qui est un outil fondamental en mathématiques discrètes et en informatique. On les retrouve dans la modélisation de processus, le contrôle, les protocoles de communication, la vérification de programmes, la théorie de la calculabilité, dans l'étude des langages formels et en compilation. Ils sont utilisés dans la recherche des motifs dans un texte.

Les automates finis reconnaissent exactement des langages rationnels. Ce sont les machines les plus simples dans la hiérarchie de Chomsky, et par conséquent ils sont moins puissants que les automates à pile et, bien entendu, que les machines de Turing.

Un automate est constitué d'états et de transitions. Son comportement est dirigé par un mot fourni en entrée : l'automate passe d'état en état, suivant les transitions, à la lecture de chaque lettre de l'entrée. Dans l'exemple ci-dessus, pour l'entrée 1010010, et si l'automate démarre en s_0, il passe successivement par les états s_0s_1s_2s_2s_1s_2s_2s_1, le calcul correspondant est :s_0\xrightarrow1s_1\xrightarrow0s_2\xrightarrow1s_2\xrightarrow0s_1\xrightarrow0s_2\xrightarrow1s_2\xrightarrow0s_1.

Table de transition


\begin{array}{c|cc}
&0&1\\\hline
s_0&s_0&s_1\\
s_1&s_2&s_0\\
s_2&s_1&s_2
\end{array}

L'automate est dit « fini » car il possède un nombre fini d'états : il ne dispose donc que d'une mémoire bornée. On peut très bien considérer des automates sans limitation sur le nombre d'états : la théorie qui en résulte est très analogue à la théorie habituelle. Un automate fini peut être vu comme un graphe orienté étiqueté : les états sont les sommets et les transitions sont les arêtes étiquetées. L'état initial est marqué par une flèche entrante ; un état final est, selon les auteurs, soit doublement cerclé (figure 1 ci-dessus), soit marqué d'une flèche sortante (figure 2 ci-dessous).

Une autre façon commode de représenter un automate fini est sa table de transition. Elle donne, pour chaque état et chaque lettre, l'état d'arrivée de la transition. Voici à droite la table de transition de l'automate de la figure 1 :

Aperçu[modifier | modifier le code]

Pour d'autres types d'automates, voir : théorie des automates.
Article détaillé : Théorie des automates finis.

Il existe plusieurs types d'automates finis. Les « accepteurs » ou « reconnaisseurs » produisent en sortie une réponse « oui » ou « non », selon qu'ils acceptent (oui) ou rejettent (non) le mot présenté en entrée. Dans l'exemple ci-dessus, le mot 1010010 n'est pas accepté, mais le mot 10100101 est accepté. D'autres automates classent l'entrée par catégorie : au lieu de répondre par oui ou par non, ils répondent par une classification ; de tels automates se rencontrent par exemple en linguistique. Les automates pondérés (weighted automata[1] en anglais) associent à chaque mot une valeur numérique.

Les automates finis servent à caractériser des langages (c'est-à-dire, des ensembles, finis ou non, de mots finis en général) : ce sont les langages composés des mots acceptés, ou langages reconnus par les automates. Des extensions des automates finis reconnaissent des langages de mots infinis. Ce sont les automates sur les mots infinis (les plus connus d'entre eux sont les automates de Büchi), les automates de Rabin et les automates de Muller. D'autres automates reconnaissent divers types d'arbres (automates d'arbres).

Une sous-catégorie importante est celle des automates déterministes (les automates généraux sont parfois appelés non déterministes ; il conviendrait mieux de les qualifier d'« indéterministes »). Un automate est déterministe si, pour chacun de ses états, il y a au plus une transition pour chaque étiquette possible et si, de plus, il a un seul état initial. S'il a exactement une transition par étiquette, on parle alors d'automate déterministe complet. L'automate ci-dessus est déterministe et complet.

Dans les automates non déterministes, il peut y avoir plusieurs transitions à partir d'un état donné pour une étiquette donnée. Ici, le terme « non déterministe » ne signifie pas la négation de « déterministe » (c'est-à-dire « nécessairement non déterministe ») mais l'absence éventuelle de cette propriété (c'est-à-dire « non nécessairement déterministe »).

Il est remarquable que tout automate fini peut être transformé, au moyen d'une opération qui peut éventuellement augmenter exponentiellement son nombre d'états, en un automate déterministe : c'est la déterminisation expliquée plus loin.

Les automates finis se rencontrent, dans une formulations proche, dans les circuits intégrés numériques, où l'entrée, l'état et le résultat sont des vecteurs de bits de taille fixe. Les machines de Moore et machines de Mealy sont des automates finis avec sortie. Dans les machines de Mealy, les actions (sorties) sont liées aux transitions, tandis que dans les machines de Moore, les actions sont liées aux états. Les transducteurs finis sont des automates avec sortie plus généraux.

Définitions formelles[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : alphabet et mot

Alphabet[modifier | modifier le code]

Un alphabet est un ensemble, en général supposé fini et non vide. Ses éléments sont des lettres.

Mot[modifier | modifier le code]

Un mot sur un alphabet A est une suite finie d'éléments de A. Un mot est noté par la juxtaposition de ses lettres. Ainsi, on écrit u = a_{1}\cdots a_{n} au lieu de u = (a_{1},\ldots,a_{n}). La longueur d'un mot est le nombre d'éléments qui le composent. La suite vide, mot de longueur 0, souvent notée \varepsilon, est appelée le mot vide. L'ensemble des mots sur A est noté A^{*}. La concaténation de deux mots u = a_{1}\cdots a_{n} et v = b_{1}\cdots b_{n} est le mot uv=a_{1}\cdots a_{n}b_{1}\cdots b_{n} obtenu par juxtaposition. En particulier, u\varepsilon= \varepsilon u=u. La concaténation est associative, et par conséquent A^{*} est un monoïde.

Automate fini[modifier | modifier le code]

Fig. 2 : Automate reconnaissant les mots finissant par ab.

Un automate fini ou automate fini non déterministe (AFN) \mathcal{A} sur un alphabet A est un quadruplet \mathcal{A} = (Q, \mathcal{F}, I, T), où :

  • Q est un ensemble fini d'états,
  • \mathcal{F}\subset Q\times A\times Q est l'ensemble des transitions,
  • I \subseteq Q est l'ensemble des état initiaux,
  • et T \subseteq Q est un ensemble d'états finals ou terminaux.

Une transition f=(p,a,q) est composée d'un état de départ p, d'une étiquette a et d'un état d'arrivée q. Un calcul c (on dit aussi un chemin ou une trace) est une suite de transitions consécutives :

c=(p_0,a_1,p_1)(p_1,a_2,p_2)\cdots(p_{n-1},a_n,p_n)

Son état de départ est p_0, son étiquette est le mot a_1a_2\cdots a_n et son état d'arrivée est p_n. Un calcul est réussi si son état de départ est un des états initiaux, et son état d'arrivée est un des états terminaux.

Un mot w est reconnu ou accepté par l'automate s'il est l'étiquette d'un calcul réussi. Le langage reconnu par l'automate est l'ensemble des mots reconnus. Un langage est reconnaissable s'il est reconnu par un automate fini.

Le langage reconnu par un automate \mathcal{A} est dénoté généralement par L(\mathcal{A}).

Automate complet, automate émondé[modifier | modifier le code]

  • Un automate est complet si pour tout état q, et pour toute lettre a, il existe au moins une transition partant de q et portant l'étiquette a.
  • Un état q est accessible s'il existe un chemin d'un état initial à q.
  • Un état q est coaccessible s'il existe un chemin de q à un état final.
  • Un automate est accessible (coaccessible) si tous ses états sont accessibles (coaccessibles).
  • Un automate est émondé si tous ses états sont à la fois accessibles et coaccessibles.

Automate fini déterministe[modifier | modifier le code]

Fig. 3 : Automate reconnaissant les mots commençant par ab.

Un automate fini déterministe (AFD) \mathcal{A} sur un alphabet A est un automate fini qui vérifie les deux conditions suivantes :

  • il possède un seul état initial ;
  • pour tout état q, et pour toute lettre a, il existe au plus une transition partant de q et portant l'étiquette a.

Pour un automate déterministe, la fonction de transition \delta : Q\times A \to Q est la fonction partielle définie par : \delta(q,a)=q' si (q,a,q') est une transition. Si la fonction de transition est partout définie, l'automate est complet. La fonction de transition \delta est étendue en une application (partielle) Q\times A^* \to Q en posant

  • \delta(q,\varepsilon)=q pour tout état q. Ici \varepsilon dénote le mot vide.
  • \delta(q,wa)=\delta(\delta(q,w),a) pour tout état q, tout mot w et toute lettre a.

Variations de notations[modifier | modifier le code]

Il est d'usage de remplacer la notation \delta par un simple point. On écrit alors q\cdot w à la place de \delta(q,w), et la formule \delta(q,wa)=\delta(\delta(q,w),a) devient q\cdot wa=q\cdot w\cdot a. Ceci montre aussi que la fonction de transition est une action du monoïde libre A^* sur l'ensemble Q. On rencontre aussi la notation \mathcal{A} = (Q, i, T) pour un automate déterministe, la fonction de transition étant sous-entendue (comme la loi de composition dans un groupe, par exemple). L'automate de la figure 3 est déterministe et incomplet. Son état initial est 1, et il possède un seul état final, l'état 3. Il reconnaît le langage abA^* sur l'alphabet A=\{a,b\}.

On rencontre dans la littérature l'écriture d'un automate fini général sous forme de quintuplet

\mathcal{A} = (Q, \mathcal{F}, I, T, A) .

Ici, l'alphabet de l'automate est inclus dans la spécification. La même façon d'inclure alphabet de définition dans la spécification se voit aussi pour les automates déterministes.

Extensions des automates finis[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs généralisation des automates finis, selon la nature des étiquettes que l'on autorise sur les transitions : un automate asynchrone est un automate où l'étiquette d'une transition peut être le mot vide. Un telle transition est appelée une \varepsilon-transition. D'autres généralisations autorisent, comme étiquettes, des mots composés de plusieurs lettres. Enfin, la généralisation la plus large autorise comme étiquettes des langages rationnels, représentés par des expressions régulières. Toutes ces extensions n'augmentent pas la puissance des automates finis : un langage reconnu par une quelconque de ces extensions est reconnaissable par un automate fini, et même par un automate fini déterministe.

Déterminisation d'un automate fini[modifier | modifier le code]

Il est toujours possible, à partir d'un automate fini \mathcal{A}, de construire un automate fini déterministe \mathcal{A'} reconnaissant le même langage :

Théorème — Pour tout automate fini \mathcal{A}, il existe un automate fini déterministe \mathcal{A'} reconnaissant le même langage.

Fig. 4 : Automate déterminisé des mots se terminant par ab
Fig. 5 : Automate déterminisé et émondé

La méthode de construction est appelée l'algorithme des parties (en) en français, et powerset construction en anglais.

Soit \mathcal{A}= (Q, \mathcal{F}, I, T) un automate fini sur un alphabet A.

On construit l'automate \mathcal{A'} comme suit :

  • l'ensemble d'états de \mathcal{A'} est l'ensemble P=2^Q des parties de l'ensemble Q ;
  • l'état initial de \mathcal{A'} est I ;
  • les états terminaux de \mathcal{A'} sont les parties T' de Q qui ont une intersection non vide avec T ;
  • la fonction de transition de \mathcal{A'} est définie, pour S\subseteq Q et a\in A, par
S\cdot a=\{s'\in Q\mid \exists s\in S: (s,a,s')\in \mathcal{F}\}.

L'automate \mathcal{A'} est déterministe par construction.

Pour l'exemple de la figure 2, on obtient l'automate de la figure 4. Bien entendu, seuls les quatre états du haut sont utiles et même l'état 123 peut être supprimé, puisqu'il n'est pas accessible. L'automate accessible déterminisé est celui de la figure 5.

Le nombre d'états de l'automate déterminisé peut être exponentiel par rapport au nombre d'états de l’automate de départ[2].

Automates asynchrones[modifier | modifier le code]

Fig. 6 : Automate asynchrone reconnaissant a^*b^*.
Fig. 7 : Automate synchronisé reconnaissant a^*b^*.

Un automate asynchrone est un automate fini autorisé à posséder des transitions étiquetées par le mot vide, appelées des \varepsilon-transitions. L'automate de la figure 6 est asynchrone.

L'élimination des \varepsilon-transitions se fait par un algorithme de fermeture transitive comme suit :

  • Pour chaque chemin d'un état s à un état t formé de \varepsilon-transitions, et pour chaque transition de t à un état u portant une lettre a, ajouter une transition de s à u d'étiquette a ;
  • Pour chaque chemin d'un état s à un état t terminal formé de \varepsilon-transitions, ajouter s à l'ensemble des états terminaux ;
  • Supprimer les \varepsilon-transitions.

Dans l'exemple de la figure 6, on ajoute la transition 1\xrightarrow b 2 dans la première étape, et on déclare que 1 est état final dans la deuxième étape. On obtient l'automate de la figure 7.

Autres exemples d'automates finis[modifier | modifier le code]

  • L'automate du début de l'article reconnaît les écritures binaire des entiers naturels multiples de 3. Par exemple, le nombre 18, dont l'écriture binaire est 10010, est reconnu : le calcul est
            s_0\xrightarrow1 s_1\xrightarrow0 s_2\xrightarrow0 s_1\xrightarrow1s_0\xrightarrow0 s_0.
    On peut se convaincre qu'un entier n mène, depuis l'état initial, à s_0, s_1 ou s_2, selon que le reste de sa division par 3 est 0, 1, ou 2.
Automate reconnaissant les mots contenant un nombre impair de lettres a.
  • L'exemple suivant décrit un automate fini déterministe complet sur l'alphabet binaire a,b, qui détermine si l'entrée contient un nombre impair de a. Cet automate intervient dans la suite de Thue-Morse. L'automate est \mathcal{A} = (Q,1,\{2\}), avec Q=\{1,2\}, et la fonction de transition donnée par la table :
           
\begin{array}{c|cc}
&a&b\\\hline
1&2&1\\
2&1&2
\end{array}
    Chaque fois que l'on change d'état, la parité du nombre de a change.

Langages rationnels et langages reconnaissables : le théorème de Kleene[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Kleene.

Le mathématicien Stephen C. Kleene a démontré que les langages reconnus par les automates finis sont exactement les langages qui peuvent être décrits par les expressions rationnelles. De manière plus concise, il y a égalité entre la famille des langages rationnels et la famille des langages reconnaissables sur un alphabet fini donné.

De plus, la démarche est constructive : pour toute expression rationnelle, on peut construire un automate fini (déterministe ou non) qui reconnaisse cette expression ; de même, pour tout automate fini (déterministe ou non), on peut exprimer sous forme d'une expression rationnelle le langage qu'il reconnaît.

Expressions rationnelles et langages rationnels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Expression rationnelle.

Les expressions rationnelles, ou expressions régulières sont des expressions qui décrivent les langages rationnels. Le terme expression régulière est antérieur, et les langages décrits par ces expressions sont naturellement aussi appelés langages réguliers.

Les expressions rationnelles, plus ou moins étendues, servent notamment à la recherche de motifs dans un texte.

Expressions rationnelles[modifier | modifier le code]

Une expression rationnelle E sur un alphabet A est soit :

  • Un symbole dénotant le mot vide : \epsilon ou 1 ;
  • une lettre a de l'alphabet A ;
  • une réunion (ou somme, en notation algébrique) de deux expressions rationnelles M et N, notée E= M|N ou E= M+N
  • une concaténation (ou un produit, en notation algébrique) de deux expressions rationnelles M et N, notée E= M\cdot N ou simplement E= MN
  • une répétition, ou étoile, ou itération, d'une expression rationnelle M notée E=M^*.

On distingue soigneusement l'expression rationnelle, qui est une simple expression, c'est-à-dire une chaîne de caractères qui représente un arbre d'expression, du langage que représente cette expression appelé le langage dénoté par l'expression. Ce langage est noté L(E) et est défini récursivement, à partir de l'expression.

Construction d'automates finis à partir des expressions rationnelles[modifier | modifier le code]

Automate pour l'ensemble vide, le mot vide et une lettre
Automate pour l'union
Automate pour le produit
Automate pour l'étoile
Automate obtenu par la méthode de Thompson pour l'expression (a+b)^*b(a+\epsilon)(a+b)^*

Il existe plusieurs méthodes pour construire un automate fini à partir d'une expression rationnelle :

  • la méthode de Thompson[3].
    Elle a été utilisée par Ken Thompson dans l'implémentation de la commande grep du système Unix.
    On construit récursivement des automates pour les composants d'une expression. La forme particulière des automates permet de les combiner avec une grande facilité. L'automate obtenu est non déterministe asynchrone.
  • la méthode de Glushkov[4].
    Cette méthode, attribuée à l'informaticien Glushkov (en), permet de construire un automate non déterministe de même taille (nombre d'états) que la taille (nombre de symboles) de l'expression rationnelle.
    Il a été observé que l'automate de Glushkov est le même que l'automate obtenu en supprimant les \varepsilon-transitions de l'automate de Thompson.
  • la méthode des quotients ou résiduels, attribuée à Brzozowski (en)[5].
    On forme les quotients (ou résiduels) successifs de l'expression. Il n'y en a qu'un nombre fini de différents, après application d'un certain nombre de règles de simplification qui sont l'associativité, la commutativité et l'idempotence de l'opération +.

Aucune de ces méthodes ne donne directement l'automate minimal d'un langage. Une méthode moins systématique consiste simplement à construire des automates pour la réunion, le produit et l'étoile de langages, et d'opérer récursivement :

Soit \mathcal{A}(M) (respectivement \mathcal{A}(N )) l'automate fini reconnaissant le langage dénoté par l'expression rationnelle M (respectivement N). Les constructions sont les suivantes :

  • Automate \mathcal{A}(M|N) pour la réunion :
    Il suffit de faire la réunion disjointe des automates \mathcal{A}(M) et \mathcal{A}(N).
  • Automate \mathcal{A}(M\cdot N) pour le produit :
    L'automate a pour états les états de \mathcal{A}(M) et de \mathcal{A}(N). Les états initiaux sont ceus de \mathcal{A}(M), les terminaux sont ceux de \mathcal{A}(N). Les transitions sont celles de \mathcal{A}(M) et de \mathcal{A}(N), et de plus des \varepsilon-transitions des états terminaux de \mathcal{A}(M) vers les états initiaux de \mathcal{A}(N)
  • Automate \mathcal{A}(M^*) pour l'étoile :
    On part de l'automate \mathcal{A}(M) que l'on augmente de deux états i et t. On ajoute des \varepsilon-transitions
          de i à tout état initial de \mathcal{A}(M)
          de tout état final de \mathcal{A}(M) à t
          de i à t et de t à i.
    L'état i (resp. t) est l'état initial (resp. final) de \mathcal{A}(M^*).

Autres modèles pour les langages rationnels[modifier | modifier le code]

Grammaires et les langages rationnels[modifier | modifier le code]

Les langages rationnels forment la classe la plus simple de la hiérarchie de Chomsky et sont, à ce titre, engendrés par des grammaires algébriques particulières, les grammaires linéaires droites ou grammaires linéaires gauches. Ce sont des grammaires où toutes les règles sont de la forme X\to w ou X\to wY, avec w un mot ne contenant pas de variable et X,Y des variables. (Pour les grammaires linéaire gauches, remplacer X\to wY par X\to Yw.)

On construit, pour une grammaire linéaire droite G=(V,S,P), un automate fini (généralisé, avec des mots comme étiquettes) comme suit : les états de l'automate sont les variables de la gframmaire, plus un état spécial f. L'état initial est S, le seul état final est f. Chaque règle X\to wY fournit une transition (X,w,Y) de X vers Y d'étiquette w, et chaque règle X\to w fournit une transition (X,w,f) de X vers f d'étiquette w.

Systèmes d'équations linéaires[modifier | modifier le code]

Fig. 7 : Un automate reconnaissant a^*b^*

À tout automate, on peut associer un système d'équations linéaires dont les coefficients sont des parties de l'alphabet. On résout le système par une méthode similaire à la méthode d'élimination de Gauss. L'ingrédient de base est ce qu'on appelle le Lemme d'Arden.

Soit \mathcal{A} = (Q, \mathcal{F}, I, T) un automate fini sur un alphabet A. Pour chaque état q \in Q, soit L_q le langage reconnu à partir de l'état q, c'est-à-dire le langage reconnu en prenant q pour état initial. On pose enfin A_{q,r} = \{a\in A \mid (q, a ,r) \in T\}. Ce sont les étiquettes des transitions de q à r. On a alors :

L_q =\bigcup_{r \in Q} A_{q,r}\cdot L_r \cup F_q

F_q = \begin{cases}\{\varepsilon\} & q \in F \\ \varnothing & q \notin F \end{cases}

L'application du lemme d'Arden permet d'éliminer une à une les inconnues L_q des n équations de la forme précédente, et d'obtenir une expression explicite des L_q et notamment des L_i, i \in I, ce qui détermine le langage reconnu par l'automate \mathcal{A}.

Exemple : Reprenons l'automate de la figure 7. Le système associé s'écrit :

\begin{array}{lcl}L_1&=&aL_1\cup bL_2\cup \varepsilon\\
L_2&=&bL_2\cup\varepsilon\end{array}

La deuxième équation donne :

L_2=b^*

En reportant dans la première, on obtient :

L_1=aL_1\cup b^*

et le lemme d'Arden donne :

L_1=a^*b^*

Note : Les ensembles A_{q,r} qui, dans les équations ci-dessus sont des parties de l'alphabet, peuvent être remplacés par des ensembles rationnels quelconques : les langages solutions sont toujours rationnels, à condition de prendre la plus petite solution dans le lemme d'Arden.

Minimisation d'un automate fini[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Équivalence de Nerode et Automate minimal (en)

Deux automates finis sont équivalents s'ils reconnaissent le même langage. C'est un résultat remarquable de la théorie qu'il existe, pour tout automate fini, un seul automate fini déterministe minimal (c'est-à-dire ayant un nombre minimal d'état) qui est équivalent à l'automate donné. De plus, cet automate, appelé automate minimal, se calcule efficacement par l'algorithme de Moore ou l'algorithme de Hopcroft (voir les livres cités en référence). L'unicité de l'automate ayant un nombre minimal d'état n'est plus vraie pour les automates non déterministes.

On peut ainsi décider de l'équivalence de deux automates en calculant, pour chacun, l'automate minimal correspondant, et en testant l'égalité des deux automates obtenus.

Monoïde de transition et monoïde syntaxique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : monoïde syntaxique.

Soit \mathcal{A} = (Q, i, T) un automate fini déterministe complet sur un alphabet A. Chaque mot w définit une application \sigma(w):Q\to Q donnée par

q\sigma(w)=q\cdot w

Ici l'argument de la fonction est noté à gauche de la fonction. On a

\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)

En effet q\sigma(xy)=q\cdot xy=q\cdot x\cdot y=(q\sigma(x))\cdot y= (q\sigma(x))\sigma(y). L'application \sigma:A^*\to Q^Q est donc un morphisme de A^* dans le monoïde des applications de Q dans lui-même. L'image \sigma(A^*) est appelée le monoïde de transition de l'automate. Lorsque l'automate est minimal, le monoïde de transition est isomorphe au monoïde syntaxique du langage reconnu par l'automate.

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

Un automate fini peut être représenté en utilisant une table de transition d'état. On le représente alors sous forme logicielle avec une matrice de transition d'état. Dans certains cas, il est plus avantageux d'utiliser une matrice creuse, ou un énorme switch qui distribue selon les états, et pour chaque état un autre switchs qui distingue les symboles d'entrée.

La réalisation d'automates finis se fait aussi, sous forme matérielle, par un dispositif de logique programmable appelé table logique programmable (en).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Droste et al. 2009
  2. En fait, on peut rencontrer à peu près toutes les situations envisageables. Il a été démontré (G. Jirásková. « Magic numbers and ternary alphabet », dans V. Diekert and D. Nowotka (éditeurs), Developments in Language Theory, Lecture Notes in Comput. Sci. 5583(2009) p. 300–311. Springer-Verlag) que, sur un alphabet à trois lettres, il existe, pour tous n, N avec n\le N\le 2^n, un automate non déterministe minimal à n états, pour lequel l'automate déterministe minimal équivalent a N états.
  3. Thompson 1968. Elle est attribuée à McNaughton et Yamada dans Hopcroft et al. 2007
  4. Glushkov 1961
  5. Brzozowski 1964

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Manfred Droste, Werner Kuich et Heiko Vogler, Handbook of Weighted Automata, Springer-Verlag,‎ 2009 (ISBN 3642014917)
  • Jacques Sakarovitch, Éléments de théorie des automates, Vuibert,‎ 2003 (ISBN 978-2-7117-4807-5)
    Traduction anglaise avec corrections : Elements of Automata Theory, Cambridge University Press 2009, (ISBN 9780521844253)
  • Patrice Séébold, Théorie des automates: Méthodes et exercices corrigés, Vuibert,‎ 1999, 198 p. (ISBN 978-2711786305)

Références historiques[modifier | modifier le code]

  • John A. Brzozowski (en), « Derivatives of regular expressions », J. Assoc. Comput. Mach., vol. 11,‎ 1964, p. 481–494
  • Victor M. Glushkov (en), « The abstract theory of automata », Russian Math. Surveys, vol. 16,‎ 1961, p. 1–53
  • Ken Thompson, « Regular expression search algorithm », Comm. Assoc. Comput. Mach., vol. 11,‎ 1968, p. 419–422

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • L'histoire des automates finis a été décrite par Dominique Perrin dans l'article : Les débuts de la théorie des automates, paru dans Technique et science informatiques 1995, vol. 14, no 4, p. 409-433.
  • Des outils informatiques permettent de générer des programmes afin de plus facilement définir des automates Hierarchical State Machine Compiler
  • FSM: Open Source Finite State Machine Generation in Java by Alexander Sakharov FSM
  • SMC: An Open Source State Machine Compiler that generates FSM for many languages as C, Python, Lua, Scala, PHP, Java, VB, etc SMC