Transducteur fini

En informatique théorique, en linguistique, et en particulier en théorie des automates, un transducteur fini (appelé aussi transducteur à états finis par une traduction maladroite de l'anglais finite state transducer) est un automate fini avec sorties. C'est une extension des automates finis. Ils opèrent en effet sur les mots sur un alphabet d'entrée et, au lieu de simplement accepter ou refuser le mot, ils le transforment, de manière parfois non déterministe, en un ou plusieurs mots sur un alphabet de sortie. Ceci permet des transformations de langages, et aussi des utilisations variées telles que notamment l'analyse syntaxique des langages de programmation, et l'analyse morphologique ou l'analyse phonologique en linguistique.

Une des propriétés remarquables des transducteurs finis est qu'ils transforment les langages rationnels en langages rationnels, et les langages algébriques en langages algébriques.

Définitions formelles

Un transducteur fini est une machine mathématique qui transforme des mots. Une telle machine est conçue sur le modèle des automates finis, avec, pour chaque transition, une étiquette additionnelle sous forme d'un mot. Chaque transition est donc dotée de deux étiquettes. Ceci est fréquemment représenté par l'écriture

$q\xrightarrow{\ a|b\ }r$

Le symbole $a$ est l' étiquette d'entrée, le symbole $b$ est l' étiquette de sortie de la transition. De manière imagée, on dit que le transducteur « lit » le symbole $a$ et « écrit » le symbole $b$ en passant de l'état $q$ à l'état $r$. En itérant cette action un transducteur lit un mot et écrit un mot.

La finitude du transducteur signifie la finitude du nombre d'états. Mais comme souvent en informatique théorique, les machines sont - en principe - non déterministes, donc en lisant un mot, elles peuvent écrire plusieurs, voire une infinité de mots.

Les transducteurs finis ont de nombreuses propriétés théoriques, et des applications pratiques nombreuses, par exemple en compilation, en reconnaissance de la parole et en linguistique.

Transducteur fini

Un transducteur fini est défini par un 6-uplet T = ($\Sigma_{1}$ , $\Sigma_{2}$ , $Q$ , $I$ , $F$ , $\delta$), où :

• $\Sigma_{1}$ l' alphabet d'entrée

• $\Sigma_{2}$ l' alphabet de sortie

• $Q$ l'ensemble fini des états du transducteur

• $I$ l'ensemble des états initiaux $\subseteq Q$

• $F$ l'ensemble des états finals $\subseteq Q$

• $\delta$ la table de transition : c'est un sous-ensemble de $Q \times (\Sigma_{1}\cup\{\varepsilon\}) \times (\Sigma_{2}\cup\{\varepsilon\}) \times Q$ où $\varepsilon$ est le mot vide.

La propriété $(q,a,b,r) \in \delta$ signifie qu'il existe une transition de l'état $q$ vers l'état $r$ par laquelle on lit le symbole $a \in \Sigma_{1}\cup\{\varepsilon\}$ et on écrit le symbole $b \in \Sigma_{2}\cup\{\varepsilon\}$. Ceci est fréquemment représenté par l'écriture

$q\xrightarrow{a|b}r$

Le symbole $a$ est l' étiquette d'entrée, le symbole $b$ est l' étiquette de sortie de la transition. On note comme d'usage

• $\Sigma^{*}_{1}$ le monoïde libre des mots sur l'alphabet d'entrée

• $\Sigma^{*}_{2}$ le monoïde libre des mots sur l'alphabet de sortie

Clôture transitive

La clôture transitive $\delta^*$ de $\delta$ est la plus petite relation (pour l'inclusion des relations) vérifiant :

• $\delta^{*} \subseteq Q \times \Sigma^{*}_{1} \times \Sigma^{*}_{2} \times Q$

• $\delta \subseteq \delta^{*}$

• $\forall q \in Q, (q,\varepsilon,\varepsilon,q) \in \delta^{*}$ (réflexivité)

• Si $(q,x,y,r) \in \delta^{*}$ et $(r,a,b,s) \in \delta$, alors $(q,xa,yb,s) \in \delta^{*}$ (transitivité)

En d'autres termes, $(q,x,y,r) \in \delta^{*}$ signifie qu'il existe un chemin de l'état $q$ vers l'état $r$ dont l'étiquette d'entrée est le mot $x \in \Sigma^{*}_{1}$ et l'étiquette de sortie est le mot $y \in \Sigma^{*}_{2}$. Un chemin est réussi si $q\in I$ et $r\in F$.

Relation rationnelle

Par analogie avec les automates à états finis qui reconnaissent un langage, un transducteur fini $T$ reconnaît une relation, notée $[T]$ du produit cartésien des deux monoïdes libres. On a $(x,y)\in [T]$ ou $x[T]y$ si et seulement s'il existe $p \in I$ et $r \in F$ tel que $(p,x,y,r) \in \delta^{*}$. En d'autres termes, $x$ est en relation avec $y$ si et seulement s'il existe un chemin réussi qui lit $x$ et écrit $y$.

Variante de définition

Au lieu de demander que les étiquettes des transition soient des lettres ou le mot vide, on autorise comme étiquettes des mots sur l'alphabet d'entrée resp. l'alphabet de sortie.

Les différentes façons de considérer un transducteur fini

Un transducteur fini peut être vu de plusieurs façons, ce qui permet des utilisations tout à fait différentes.

Transducteur vu comme un automate

Dans le cas où aucune des étiquettes du transducteur n'est le mot vide, on peut voir un transducteur comme un cas particulier des automates finis. Il vérifie alors les propriétés classiques des automates.

Il suffit en effet de considérer un automate dont l'alphabet est le produit cartésien des deux alphabets : $\Sigma = \Sigma_{1} \times \Sigma_{2}$.

Transducteur vu comme une relation rationnelle

Le fait de considérer un transducteur comme une relation rationnelle permet d'établir une propriété primordiale dans l'étude et l'utilisation de ceux-ci : la clôture par composition.

Opérations sur les transducteurs

Opérations héritées des automates

• Union : soient $A$ et $B$ deux transducteurs finis. La relation $[A \cup B]=[A] \cup [B]$

définit un transducteur fini, noté $A \cup B$.

• Produit de concaténation : soient $A$ et $B$ deux transducteurs, alors il existe un transducteur noté $A \cdot B$ tel que $xx'[A \cdot B]yy'$ si et seulement si $x[A]y$ et $x'[B]y'$. En d'autres termes, $[A \cdot B]=\{(xx',yy')\mid (x,y)\in [A], (x',y')\in[B]\}$.

• Fermeture de Kleene : soit $T$, alors il existe un transducteur noté $T^{*}$ qui correspond à la fermeture de Kleene pour l'opération de concaténation.

• Intersection : l'intersection de deux relations $R$ et $R'$ est la relation $R''$ définie par

$R''=R\cap R'$. Même si $R''$ et $R''$ sont des relations rationnelles, leur intersection n'est pas nécessairement une relation rationnelle.

Composition

Considérons deux transducteurs finis $T_{1}$ et $T_{2}$ tels que l'alphabet de sortie de $T_{1}$ coïncide avec l'alphabet d'entrée de $T_{2}$.

Le composé $T_{3} = T_{2} \circ T_{1}$ est défini par la relation $[T_{3}]$ :

$x[T_{3}]y \Leftrightarrow \exists z$ tel que $x[T_{1}]z$ et $z[T_{2}]y$.

Il est important de noter que la composition de deux transducteurs finis est encore un transducteur fini. Ainsi la composition permet d'élaborer facilement des transducteurs ayant une fonction complexe à partir de transducteurs simples.

Projections

• Projection gauche : la projection gauche d'une relation $R$ est l'ensemble $K=\{x\mid \exists y: (x,y)\in R\}$. Soit $T$ un transducteur fini. La projection gauche de la relation $[T]$ est un langage rationnel: il existe automate fini qui la reconnaît; il suffit en effet d’« oublier » les étiquettes de sortie sur les transitions de $T$.

• Projection droite : de même, la projection droite d'une relation rationnelle est un langage rationnel.

Application à l'analyse grammaticale

L'opération de composition permet de créer très facilement un transducteur qui, à partir d'une séquence de lettres (une phrase) reconnaît la nature grammaticale de chaque mot.

Pour cela on définit deux transducteurs :

• Un transducteur $L$ (Lexique) qui transforme une séquence de lettres suivies d'un espace en un mot.

Un exemple de Lexique.

• Un transducteur $D$ (Dictionnaire) qui transforme un mot en sa nature grammaticale (ou éventuellement plusieurs si le mot est ambigu).

Un exemple de Dictionnaire

Il suffit ensuite de considérer le transducteur composé $T = D^{*} \circ L^{*}$ Comme la composition préserve la fonction des transducteurs, ce nouveau transducteur prendra en entrée une séquence de lettres, et écrira en sortie une séquence de natures grammaticales correspondants aux mots de la phrase.

Extension du modèle : transducteur fini pondéré

De même que pour les automates finis, les transducteurs finis peuvent être améliorés en les pondérant. La méthode est d'ailleurs identique à celle utilisée pour les automates fini pondérés.

Une telle optimisation peut se voir utilisée par exemple dans des correcteurs d'orthographe. Pour cela, il suffit de définir une distance entre les mots comme d(u,v) = nombre de modifications nécessaires pour transformer u en v. Il suffit alors de définir un transducteur qui réalise des transformations élémentaires (changement de lettre, ajout d'une lettre, suppression d'une lettre) en pondérant correctement ces transformations.

Ainsi, à chaque fois qu'un mot n'existe pas dans le dictionnaire, une comparaison de ce mot aux autres par l'intermédiaire du transducteur pondéré déterminera quel mot correct est le plus proche.

Articles connexes

• Automate de Mealy
• Automate de Moore
• Automate fini
• Langage rationnel
• Théorie des automates
• Transduction rationnelle