Complémentaire (théorie des ensembles)

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Si le rectangle représente l'ensemble E, la partie bleue est le complémentaire de la blanche.

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie X d'un ensemble E est constitué de tous les éléments de E n'appartenant pas à X.

Le complémentaire de X est souvent noté \complement X, \overline X ou encore X^\circ[réf. nécessaire]. En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de X dans E, on note \complement_E X.

Si X est différent de l'ensemble vide et de E, alors X et \overline X forment une partition de l'ensemble E.

Le cas des ensembles finis[modifier | modifier le code]

Lorsque E est un ensemble fini, la somme des cardinaux de X et \overline X est égale au cardinal de E :

\text{card}\left(X\right)+\text{card}\left(\overline X\right)=\text{card}\left(E\right).

D'où on déduit :

\text{card}\left(\overline X\right)=\text{card}\left(E\right)-\text{card}\left(X\right).
Exemple
Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 - 47 = 3 absents.

Propriétés essentielles[modifier | modifier le code]

Le complémentaire de A\cup B est grisé.

L'ensemble dans lequel on travaille est noté E. X, A et B sont des sous-ensembles de E.

  • \overline E = \varnothing.
  • \overline{\varnothing} = E.
  • Un élément de E ne peut être à la fois dans X et dans son complémentaire, un ensemble et son complémentaire sont donc des ensembles disjoints :
X\cap \overline X = \varnothing
  • Tout élément de E est dans X ou dans le complémentaire de X :
X\cup \overline X = E
  • Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble lui-même (l'application « le complémentaire de... » est une involution) :
\overline{\overline{X}} = X.
  • Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires :
\overline{A\cup B} = \overline A \cap \overline B.
  • Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires :
\overline{A\cap B} = \overline A \cup \overline B.

Articles connexes[modifier | modifier le code]