Tétraèdre trirectangle

En géométrie, un tétraèdre trirectangle est un tétraèdre dont trois faces sont des triangles rectangles dont les angles droit aboutissent au même sommet. Ce sommet $H$ est l'orthocentre du tétraèdre, lequel est donc orthocentrique. La face opposée à ce sommet s'appelle la base. La perpendiculaire à la base issue de $H$ est appelée la hauteur du tétraèdre (les autres hauteurs étant les arêtes issues de $H$ ).

Coordonnées des points remarquables[modifier | modifier le code]

Soient $A,B,C$ les sommets de la base, $a=HA,b=HB,c=HC$ ; dans le repère orthonormé $(H,{\overrightarrow {HA}}/a,{\overrightarrow {HB}}/b,{\overrightarrow {HC}}/c)$ , on les expressions suivantes :

$A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$
le centre de gravité $G(a/4,b/4,c/4)$
le centre de gravité de la base $I(a/3,b/3,c/3)$
le centre de la sphère circonscrite $O(a/2,b/2,c/2)$ , laquelle est de rayon ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
L'équation du plan de la base : $x/a+y/b+z/c=1$

Formules métriques[modifier | modifier le code]

Le tétraèdre trirectangle a pour volume

V={\frac {abc}{6}}.

La longueur $h$ de la hauteur satisfait ^[1]^,^[2]

{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.

L'aire $S_{0}$ de la base est donnée par ^[3]

S_{0}={\frac {abc}{2h}}.

Construction[modifier | modifier le code]

Un patron du tétraèdre trirectangle est formé d'un triangle $ABC$ (qui sera la base du tétraèdre) et de trois triangles rectangles $BCD_{1},CAD_{2},ABD_{3}$ aux hypoténuses égales aux côtés du triangle de base.

Posant $a=AD_{2}=AD_{3},b=BD_{3}=BD_{1},c=CD_{1}=CD_{2}$ , on doit avoir les relations permettant de construire la base à partir des triangles rectangles :

$x^{2}=b^{2}+c^{2}$
$y^{2}=a^{2}+c^{2}$
$z^{2}=a^{2}+b^{2}$

ou bien, permettant de construire les triangles rectangles à partir de la base, qui doit être un triangle acutangle :

$2a^{2}=-x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$2b^{2}=x^{2}-y^{2}+z^{2}$
$2c^{2}=x^{2}+y^{2}-z^{2}$

Théorème de de Gua[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de de Gua.

Si l'aire de la base est $S_{0}$ et les aires des trois autres faces (à angle droit) sont $S_{1}$ , $S_{2}$ et $S_{3}$ , alors

S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}

C'est une généralisation au tétraèdre du théorème de Pythagore.

Cas particulier[modifier | modifier le code]

Si la base est équilatérale, ce qui équivaut à $a=b=c$ , on parle de tétraèdre trirectangle régulier, bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier ^[4].

Parallélépipède circonscrit[modifier | modifier le code]

Le parallélépipède circonscrit a pour sommets $H,A,B,C,H'(a/2,b/2,c/2)=O,A'(-a/2,b/2,c/2),B'(a/2,-b/2,c/2),C'(a/2,b/2,-c/2)$ .

C'est un rhomboèdre de longueur d'arête ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ , et dont les quatre diagonales ont aussi pour longueur ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ .

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Simplexe
Brique Euler, tétraèdre trirectangle dont les six arêtes ont des longueurs entières.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Eves, Howard Whitley, "Great moments in mathematics (before 1650)", Mathematical Association of America, 1983, p. 41.
↑ Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, 1988, p. 155-156
↑ Antonio Gutierrez, « Right Triangle Formulas »
↑ Maurice Starck, « Des tétraèdres remarquables »

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trirectangular tetrahedron » (voir la liste des auteurs).

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[1] Eves, Howard Whitley, "Great moments in mathematics (before 1650)", Mathematical Association of America, 1983, p. 41.

[2] Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, 1988, p. 155-156

[3] Antonio Gutierrez, « Right Triangle Formulas »

[4] Maurice Starck, « Des tétraèdres remarquables »

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