Théorème de Jacobi (géométrie)

Les angles colorés adjacents sont de mesures égales. Le point N est le point de Jacobi pour le triangle ABC et ces angles.

En géométrie, le théorème de Jacobi, ou théorème de Fermat-Toricelli généralisé ou théorème isogonal désigne un résultat de géométrie du triangle^[1]. Un point de Jacobi est un point du plan euclidien déterminé par un triangle ABC et un triplet d'angles α, β et γ. Cette information est suffisante pour déterminer trois points X, Y et Z tels que ${\textstyle {\widehat {ZAB}}={\widehat {YAC}}=\alpha }$ , ${\textstyle {\widehat {XBC}}={\widehat {ZBA}}=\beta }$ et ${\textstyle {\widehat {YCA}}={\widehat {XCB}}=\gamma }$ . Puis, par un théorème de Karl Friedrich Andreas Jacobi (de), les droites (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes^[2]^,^[3]^,^[4] en un point N qu'on appelle point de Jacobi^[4].

Le point de Jacobi est une généralisation du point de Fermat, qui s'obtient en prenant α = β = γ = 60° et le triangle ABC sans angle étant supérieur ou égal à 120°.

Si les trois angles ci-dessus sont égaux, alors N se trouve sur l'hyperbole équilatère donnée en coordonnées barycentriques par

yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,

qui est donc l'hyperbole de Kiepert. Chaque choix de trois angles égaux détermine un centre du triangle.

Applications[modifier | modifier le code]

Les théorèmes de Lemoine, sur l'existence du point de Lemoine, et de Kariya peuvent se démontrer avec le théorème de Jacobi.

Théorème de Kariya

Dans un triangle ABC de centre de gravité I, soit XYZ son triangle de Gergonne, avec X sur [BC], Y sur [CA], Z sur [AB]. On considère, pour un nombre réel t, le triangle X_tY_tZ_t, image de XYZ par homothétie de centre I et de rapport t. Alors pour tout t, les droites (AX_t), (BY_t), (CZ_t) sont concourantes en un point P_t. De plus, quand t varie, P_t parcourt l'hyperbole de Feuerbach.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi's theorem (geometry) » (voir la liste des auteurs).

↑ Jean-Louis Aymé, « Le théorème de Jacobi - Une nouvelle approche synthétique » [archive] [PDF]
↑ (en) Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, 2009, 138–140 p. (ISBN 9780557102952)
↑ (en) Glenn T. Vickers, « Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic », Forum Geometricorum, vol. 15,‎ 2015, p. 179–183 (lire en ligne)
↑ ^{a et b} (en) Glenn T. Vickers, « The 19 Congruent Jacobi Triangles », Forum Geometricorum, vol. 16,‎ 2016, p. 339–344 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) une preuve simple du théorème de Jacobi de Kostas Vittas

Portail de la géométrie

[1] Jean-Louis Aymé, « Le théorème de Jacobi - Une nouvelle approche synthétique » [archive] [PDF]

[Michael-2] (en) Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, 2009, 138–140 p. (ISBN 9780557102952)

[3] (en) Glenn T. Vickers, « Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic », Forum Geometricorum, vol. 15,‎ 2015, p. 179–183 (lire en ligne)

[Vickers2016-4] {a et b} (en) Glenn T. Vickers, « The 19 Congruent Jacobi Triangles », Forum Geometricorum, vol. 16,‎ 2016, p. 339–344 (lire en ligne)

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron