Distributivité

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En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ».

Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué[1] à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16.

Cette propriété est vraie pour tout triplet (x, y, z) d'entiers naturels, d'entiers relatifs, de nombres rationnels, de nombres réels ou de nombres complexes :

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

On parle alors de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition[2].

En algèbre générale, la distributivité est généralisée à d'autres opérations que l'addition et la multiplication. Une loi de composition interne ∘ est distributive par rapport à une autre loi interne ∗ dans un ensemble E si pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, on a les propriétés suivantes[3] :

x ∘ (y ∗ z) = (x ∘ y) ∗ (x ∘ z)   (distributivité à gauche)
(x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z)   (distributivité à droite)
Une illustration géométrique de la distributivité

Distributivité en arithmétique[modifier | modifier le code]

En arithmétique, les deux opérations considérées lorsqu'on parle de distributivité sont l'addition et la multiplication. La multiplication est distributive par rapport à l'addition :

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

mais l'addition n'est pas distributive par rapport à la multiplication :

x + (y × z) ≠ (x + y) × (x + z)

Distributivité en calcul élémentaire[modifier | modifier le code]

Si les facteurs d'un produit sont des sommes, on peut effectuer les produits terme à terme puis effectuer la somme. Cette propriété est souvent utilisée, en calcul mental ou en informatique, pour calculer un produit d'entiers de façon efficace.

Exemple 1
235 × 99 = 235 × (100 – 1) = 23 500 – 235 = 23 265

De même, la multiplication par les nombres uniformes 9, 99, 999, etc. se ramène à une soustraction en utilisant la distributivité.

Exemple 2
458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200 000 + 36 000 + 800 + 25 000 + 4 500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271 136

Distributivité à droite et à gauche[modifier | modifier le code]

Pour les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels, les nombres réels ou les nombres complexes, l'addition et la multiplication sont des opérations commutatives. On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l'addition, sans préciser « à gauche » ou « à droite », car la distributivité à gauche implique la distributivité à droite (et réciproquement).

Entiers de Gauss[modifier | modifier le code]

Parmi les nombres complexes, un cas intéressant est celui des entiers de Gauss, qui s'écrivent sous la forme z = n + mi avec n et m entiers. On utilise la distributivité de la multiplication complexe pour montrer par exemple que (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i, c'est-à-dire que 1 + i est une racine carrée de 2i. Plus généralement, on montre que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.

Distributivité en algèbre générale[modifier | modifier le code]

En algèbre générale, on étudie les structures algébriques, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition ayant certaines propriétés. Dans ce cadre, la distributivité se généralise aux cas où :

Anneaux et corps commutatifs[modifier | modifier le code]

La distributivité de la seconde loi de composition interne sur la première loi de composition interne est une propriété des anneaux commutatifs et des corps commutatifs. Par exemple, dans un anneau A muni de deux lois internes notées + et ×, la loi × est distributive par rapport à +.

Anneaux ℤ/nℤ[modifier | modifier le code]

Les anneaux quotients de ℤ héritent de l'addition et de la multiplication des entiers relatifs, et ces lois induites vérifient la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

Quaternions[modifier | modifier le code]

La distributivité de la multiplication sur la division reste valable pour les quaternions de Hamilton, bien que la multiplication des quaternions ne soit pas commutative.

Anneaux non commutatifs[modifier | modifier le code]

Certaines identités remarquables utilisant la distributivité ne sont pas valides pour les anneaux non commutatifs, comme les anneaux de matrices ou les anneaux non commutatifs de polynômes.

Espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Dans la définition d'un espace vectoriel, la multiplication externe par des scalaires est distributive par rapport à l'addition des vecteurs. Ici, on a affaire à une loi de composition externe et non interne, mais la propriété de distributivité reste valable.

Ensemble des parties d'un ensemble[modifier | modifier le code]

Soit \mathcal{P}(E) l'ensemble des parties d'un ensemble E. On munit \mathcal{P}(E) de deux lois de composition interne : la réunion ⋃ et l'intersection ⋂. Dans ce cas, les deux lois de composition interne sont distributives l'une par rapport à l'autre. Autrement dit, pour tout triplet (A, B, C) d'éléments de \mathcal{P}(E) :

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

La réunion A ∪ B est la plus petite partie de P(E) contenant A et B, et l'intersection A ∩ B est la plus grande partie contenue simultanément dans A et dans B.

Treillis[modifier | modifier le code]

Un treillis est un ensemble E partiellement ordonné dans lequel toute paire {x, y} admet une borne supérieure xy et une borne inférieure xy. On dit que E est un treillis distributif si les deux lois de composition interne sont distributives l'une par rapport à l'autre. Dans ce cas, pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, on a :

x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z)
x ⋀ (y ⋁ z) = (x ⋀ y) ⋁ (x ⋀ z)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Notes[modifier | modifier le code]

  1. On parle aussi de développement.
  2. Lang 1976, p. 40
  3. Queysanne 1964, p. 116.
  4. Queysanne 1964, p. 122.

Références[modifier | modifier le code]

  • Serge Lang, Structures algébriques, InterEditions,‎ .
  • Michel Queysanne, Algèbre : 1er cycle scientifique - préparation aux grandes écoles, Armand Colin, coll. « U »,‎ .