Théorème de Viviani

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Figure du théorème de Viviani.

Le théorème de Viviani est un théorème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral. Son nom provient du mathématicien italien Vincenzo Viviani.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Viviani — Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux trois côtés est égale à la hauteur du triangle.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soient ABC un triangle équilatéral de côté a et P un point intérieur à ce triangle. On note h la hauteur du triangle, et l, m et n les distances de P aux côtés du triangle, respectivement [AB], [AC] et [BC].

On note A(ABC) l'aire du triangle ABC. Par construction :

A(ABC) = A(ABP) + A(ACP) + A(BCP)
\frac{a \cdot h}{2} = \frac{a \cdot l}{2} + \frac{a \cdot m}{2} + \frac{a \cdot n}{2}
h = l + m + n

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Dans cet heptagone régulier, la somme des hauteurs PI + PJ + PK + PL + PM + PN + PO est indépendante de la position de P.

Dans son livre, De maximis et minimis geometrica…, Viviani démontre un résultat plus général[1] :

Généralisation — Dans un polygone régulier convexe, la somme des distances d'un point intérieur au polygone aux côtés[2] du polygone est indépendante de la position du point.

Cette propriété utilise le même argument que précédemment. Si P est à l'intérieur du polygone A1...An, les segment PA1, ...PAn découpent le polygone en n triangles de bases A1A2, A2A3, ..., AnA1. L'aire du polygone est alors égale à la somme des aires de chaque triangle. Les triangles ayant des bases de même taille (la taille d'un côté) , la somme des aires est égale au produit de la somme des hauteurs par un demi-côté. L'aire du polygone et la longueur d'un demi côté étant indépendants de P, la somme des hauteurs est aussi indépendante de P. On peut évaluer alors cette somme à n fois l'apothème (la distance séparant le centre du polygone d'un côté).

Viviani démontre en outre que si le point P est extérieur au polygone, la somme des distances de P aux côtés du polygone est toujours strictement supérieure à la somme précédente. En effet, dans ce cas, les triangles de bases A1A2, A2A3, ..., AnA1 et de sommet P recouvrent le polygone par excès, la somme de leurs aires est strictement supérieure à celle du polygone et la somme des hauteurs est strictement supérieure à n fois la distance entre le centre et un côté.

La généralisation ci-dessus s'étend même aux polygones convexes équiangles (comme les rectangles) ainsi qu'à ceux qui sont équilatéraux (comme les losanges) ou dont les côtés sont en nombre pair et parallèles par paire de côtés opposés (comme les parallélogrammes)[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (la) Apolonio de Pérgamo, Vincenzo Viviano, De maximis et minimis geometrica…, 1659, Appendice, p. 146 sur Google Livres.
  2. Éventuellement prolongés hors du polygone.
  3. (en) Michael de Villiers, « An illustration of the explanatory and discovery functions of proof », Pythagoras, vol. 33, no 3,‎ (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Diagramme triangulaire (en)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Viviani's Theorem: What is it? », sur Cut The Knot