Théorème de Viviani

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Figure du théorème de Viviani

Le théorème de Viviani est un théorème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral. Son nom provient du mathématicien italien Vincenzo Viviani.


Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Viviani — Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux trois côtés est égale à la hauteur du triangle.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soient ABC un triangle équilatéral de côté a et P un point intérieur à ce triangle. On note h la hauteur du triangle, et l, m et n les distances de P aux côtés du triangle, respectivement [AB], [AC] et [BC].

On note A(ABC) l'aire du triangle ABC. Par construction :

A(ABC) = A(ABP) + A(ACP) + A(BCP)
\frac{a \cdot h}{2} = \frac{a \cdot l}{2} + \frac{a \cdot m}{2} + \frac{a \cdot n}{2}
h = l + m + n

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans cet heptagone régulier, la somme des hauteurs PI+PJ+PK+PL+PM+PN+PO est indépendante de la position de P

Dans son livre, De maximis et minimis geometrica ..., Vincenzo Viviani démontre un résultat plus général[1].

Généralisation — Dans un polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur au polygone aux côtés[2] du polygone est indépendante de la position du point.

Cette propriété utilise le même argument que précédemment . Si P est à l'intérieur du polygone A1...An, les segment PA1, ...PAn découpent le polygone en n triangles de bases A1A2, A2A3, ..., AnA1. L'aire du polygone est alors égale à la somme des aires de chaque triangle. Les triangles ayant des bases de même taille (la taille d'un côté) , la somme des aires est égale au produit de la somme des hauteurs par un demi-côté. L'aire du polygone et la longueur d'un demi côté étant indépendants de P, la somme des hauteurs est aussi indépendante de P. On peut évaluer alors cette somme à n fois la distance séparant le centre du polygone d'un côté.

Viviani démontre en outre que si le point P est extérieur au polygone la somme des distances de P aux côtés du polygone est toujours strictement supérieure à la somme précédente. En effet, dans ce cas, les triangles de bases A1A2, A2A3, ..., AnA1 et de sommet P recouvrent le polygone par excès, la somme de leurs aires est strictement supérieure à celle du polygone et la somme des hauteurs est strictement supérieure à n fois la distance entre le centre et un côté.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (la) Apolonio de Pérgamo, Vincenzo Viviano, De maximis et minimis geometrica ..., 1659, Appendice p 146
  2. éventuellement prolongés hors du polygone

Liens externes[modifier | modifier le code]