Tétraèdre

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Un tétraèdre.
Paul Sérusier, Tétraèdres, vers 1910.

Les tétraèdres (du grec tétra : quatre) sont des polyèdres de la famille des pyramides, composés de 4 faces triangulaires, 6 arêtes et 4 sommets.

Propriétés combinatoires[modifier | modifier le code]

Le 3-simplexe est la représentation abstraite du tétraèdre ; dans ce modèle, les arêtes s'identifient aux 6 sous-ensembles à 2 éléments de l'ensemble des quatre sommets, et les faces aux 4 sous-ensembles à 3 éléments.

Chaque sommet d'un tétraèdre est relié à tous les autres par une arête. Cette caractéristique est rare : seulement deux polyèdres la possédant ont été découverts, l'autre étant le polyèdre de Császár, qui est homéomorphe au tore, a 7 sommets d'ordre 6, 14 faces triangulaires et 21 arêtes.

Le 1-squelette d'un tétraèdre — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe complet appelé graphe tétraédrique et noté .

Points remarquables[modifier | modifier le code]

Beaucoup de points remarquables du triangle ont des analogues pour le tétraèdre, à l'exception notable de l'orthocentre. C'est en particulier le cas du centre de la sphère circonscrite (intersection des plans médiateurs des arêtes), des centres des sphères inscrites et exinscrites (intersections des plans bissecteurs), ou du centre de gravité. Un tétraèdre est dit « orthocentrique » lorsque ses quatre hauteurs sont concourantes ; le point de concours est alors l'orthocentre du tétraèdre. Une généralisation de l'orthocentre, qui coïncide avec lui pour les tétraèdres orthocentriques mais qui est toujours définie, est le point de Monge, intersection des plans orthogonaux à une arête et passant par le milieu de l'arête opposée[1],[2].

Propriétés métriques[modifier | modifier le code]

Construction[modifier | modifier le code]

La donnée des 6 longueurs des arêtes permet la construction du tétraèdre si et seulement si ces longueurs vérifient (strictement) l'inégalité triangulaire. Si on précise l'ordre des arêtes, il n'y a (à isométrie près) que deux solutions, images miroir l'une de l'autre ; une réalisation concrète (à l'aide de barres rigides, par exemple) est nécessairement sans aucun degré de liberté, et donc non déformable.

Tétraèdre de Héron[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre dont toutes les arêtes, toutes les aires des faces, et le volume sont des nombres entiers est appelé un tétraèdre de Héron ; c'est par exemple le cas du tétraèdre ayant pour arêtes 896, 990 (pour l'arête opposée) et 1073 (pour les quatre autres)[3].

Volume du tétraèdre[modifier | modifier le code]

V = Bh/3.

Comme pour toute pyramide, la formule de calcul du volume d'un tétraèdre quelconque est :

si B est l'aire d'une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s'appuyant sur cette base.

Pour un tétraèdre construit sur A, B, C et D,

Des formules analogues à la formule de Héron permettent de déterminer le volume à partir des longueurs des six côtés ; l'une d'elles, le déterminant de Cayley-Menger (en) :

(où est la distance entre les sommets i et j), a été obtenue (sous une forme plus lourde) par Piero della Francesca, mais est souvent connue sous le nom de « formule de Tartaglia »[4].

Distances entre les arêtes[modifier | modifier le code]

Deux arêtes opposées et d'un tétraèdre (ABCD) sont portées par deux droites non coplanaires ; leur distance est définie comme la distance entre ces deux droites, c'est-à-dire à cette distance mesurée sur leur perpendiculaire commune. Posant (vecteur unitaire colinéaire au produit vectoriel des deux arêtes, et donc orthogonal à celles-ci), on obtient finalement la formule donnant la distance entre AB et CD : [5].

On en déduit une autre formule pour le volume :

.

Angles[modifier | modifier le code]

Outre les 12 angles des quatre faces (calculables par les formules classique de trigonométrie du triangle), il y a 6 angles dièdres correspondant aux six arêtes, et 4 angles solides correspondants aux quatre sommets. Notant (P1, P2, P3, P4) les quatre sommets d'un tétraèdre, on notera θij l'angle dièdre entre les deux faces adjacentes à l'arête PiPj, Ωi l'angle solide en Pi et Δi l'aire de la face opposée au sommet Pi

Les outils du calcul vectoriel (produit scalaire et produit vectoriel) permettent un calcul facile de ces angles ; on a par exemple orthogonal à la face (ABC), et donc en posant et , on voit que . La formule de Girard donne alors très simplement l'angle solide : .

De très nombreuses formules de trigonométrie du triangle se généralisent au tétraèdre (on en trouvera certaines dans l'article trigonométrie sphérique, et un ensemble complet dans l'article trigonométrie du tétraèdre) ; on a par exemple une « loi des cosinus » (analogue au résultat de ce nom pour les triangles) reliant les aires des faces aux angles dièdres[6] :

.

Il existe par ailleurs une relation entre les angles dièdres liée au déterminant de Cayley-Menger (en)[7] :

.

Tétraèdre régulier[modifier | modifier le code]

Une sphère de rayon 1 inscrit un tétraèdre régulier dont chaque arête mesure sqr(8/3)
Rapports du tétraèdre régulier avec le rayon de la sphère circonscrite.

Le tétraèdre régulier est l'un des cinq solides de Platon.

Tous les points remarquables usuels du tétraèdre régulier sont confondus en un point unique, appelé centre du tétraèdre (bien que ce ne soit pas un centre de symétrie).

Pour un tétraèdre régulier inscrit dans une sphère de rayon r :

Arête .

Rayon h de la sphère inscrite dans le tétraèdre = .

Tétraèdres de Möbius[modifier | modifier le code]

Exemple de tétraèdres de Möbius : les plans des faces du tétraèdre rouge sont représentées en haut ; ceux du tétraèdre bleu en bas. Les sommets du tétraèdre rouge ont pour coordonnées et  ; ceux du tétraèdre bleu out pour coordonnées et et .

La configuration de Möbius est formée de deux tétraèdres dont chacun est « inscrit » dans l'autre (il n'en existe pas d'équivalent pour les triangles) : on peut construire deux tétraèdres dits tétraèdres de Möbius tels que les sommets de chacun d'entre eux appartiennent aux plans (respectifs) des faces opposées de l'autre. La figure jointe en montre un exemple.

Mur de l'Atlantique[modifier | modifier le code]

Tétraèdres en béton sur la plage de Pen-Bron, à La Turballe.

Des tétraèdres en béton sont utilisés pendant la Seconde Guerre mondiale comme obstacles au débarquement de barges sur les plages défendues par le Mur de l'Atlantique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Gaspard Monge, Géométrie descriptive.
  2. Point de Monge d'un tétraèdre.
  3. (en) « Problème 930 », Crux Mathematicorum, vol. 11, no 5,‎ , p. 162–166 (lire en ligne)
  4. (en) "Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant", MathPages.com
  5. (en) Eric W. Weisstein, « Line-Line Distance », sur MathWorld
  6. (en) Jung Rye Lee, « The Law of Cosines in a Tetrahedron », J. Korea Soc. Math. Educ. Ser. B: Pure Appl. Math.,‎
  7. Daniel Audet, « Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley-Menger », Bulletin AMQ,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]