Théorème des six cercles

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Diverses configurations illustrant le théorème. Dans la dernière, les cercles sont une fois sur deux confondus avec le cercle rouge.

En géométrie euclidienne plane, le théorème des six cercles s'énonce ainsi :

Soit un triangle quelconque, les côtés étant numérotés c1, c2 c3. On considère un cercle Γ1 quelconque, tangent aux côtés c1 et c2. Puis le cercle Γ2 tangent à Γ1, c2 et c3, le cercle Γ3 tangent à Γ2, c3 et c1, et ainsi de suite en « tournant » dans le triangle. Alors, le cercle Γ6 est tangent à Γ1.

Autrement dit, le septième cercle construit est confondu avec le premier. La suite des cercles, a priori infinie, n'est, d'après le théorème, constituée que de six cercles différents [1].

On ne considère, dans cette construction, que les cas où les points de contact sont situés sur les côtés du triangle et non sur leur prolongement.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le problème des six cercles n'a été énoncé (et démontré) qu'en 1974[2],[3].

Une variante en a été étudiée en 2016 : le contact des cercles peut se faire sur une extension des côtés (pas seulement sur les côtés eux-mêmes), mais comme à chaque étape il y a deux choix possibles, on s'impose de toujours choisir le plus petit des deux cercles. Alors la suite des cercles aboutit aussi à un cycle de six, mais après une séquence pré-périodique qui peut être rendue arbitrairement longue en fonction du choix de la forme du triangle et du premier cercle[4].

Animation faisant apparaître les six cercles (les couleurs suivent l'ordre de l'arc-en-ciel).

Construction des six cercles[modifier | modifier le code]

Cette partie suit une démonstration proposée par Christoph Soland[5]. Notons les sommets du triangle , etc.

6cercles1.png

La suite des cercles est formée de : de rayon arbitraire tangent à et , tangent à , et , etc. , tangent à , et .

Les points de contact du cercle inscrit découpent les côtés du triangle en six segments de trois longueurs que l'on nomme , et . Si on choisit comme unité de longueur le demi-périmètre, on est assuré que ces trois longueurs sont comprises entre 0 et 1. Il existe donc trois réels , et compris entre 0 et tels que .

Dans ces circonstances, le rayon r du cercle inscrit est (voir cercle inscrit).

De même il existe des réels compris entre 0 et tels que représente la distance du sommet aux points de contact de avec les côtés issus de .

Théorème — 

6cercles2.png
On obtient les relations :
,

ce qui montre que le septième cercle est bien égal au premier.

Dans le cas où C1 est le cercle inscrit du triangle, C3 et C5 le seront également et il compte pour trois cercles.
Remarque 1

Si le premier cercle est le cercle inscrit (), les cercles et sont égaux au cercle inscrit : les six cercles se réduisent à 4.

Remarque 2

Si l'on force le quatrième cercle à être égal au premier, le cycle des cercles est d'ordre trois, et on obtient les cercles de Malfatti.

Si on choisit les angles tels que C1 et C4 soient égaux, on retrouve la construction des cercles de Malfatti.

Les formules deviennent :

Ceci permet de construire ces cercles.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York, penguin books, (ISBN 0-14-011813-6), p. 231
  2. (en) C. J. A. Evelyn, G. B. Money-Coutts et John Alfred Tyrrell, The Seven Circles Theorem and Other New Theorems, Londres, Stacey International (en), (ISBN 978-0-9503304-0-2), p. 49-58.
  3. Evelyn (C.J.A.), Money-Coutts (G.B.) et Tyrrell (J.A.) (trad. Daniel Duclos), Le théorème des sept cercles, Cedic,
  4. (en) Dennis Ivanov et Serge Tabachnikov, « The six circles theorem revisited », The American Mathematical Monthly, vol. 123, no 7,‎ , p. 689-698 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.123.7.689, arXiv 1312.5260).
  5. Christoph Soland, « Configuration de Malfatti et théorème des six cercles », sur Mathcurve

Liens externes[modifier | modifier le code]