Théorème de Ménélaüs

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de Ménélaüs, dû à Ménélaüs d'Alexandrie précise les relations existant entre des longueurs découpées dans un triangle par une sécante. Il en existe une version plane et une version pour le triangle sphérique.

Triangle plan[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si D, E et F sont trois points des côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle ABC, alors D, E et F sont alignés si et seulement si ::\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

Une telle droite est appelée une ménélienne du triangle ABC.

Démonstration du théorème de Ménélaüs[modifier | modifier le code]

Menelaus-thm.png

Soit A' le point appartenant à la droite (FD) tel que (AA)' soit parallèle à (BD). D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles FBD et EDC, on a respectivement les égalités de rapports de mesures algébriques :

\frac{\overline{DB}}{\overline{A'A}} = \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}\quad\text{et}\quad\frac{\overline{A'A}}{\overline{DC}} = \frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}.

On en déduit que

\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{A'A}}\times\frac{\overline{A'A}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}\times\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}},

ce qui équivaut à

\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

Réciproquement, soient DEF trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que

\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait

\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} =  \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}

Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que {\overline{DB}}/{\overline{DC}}=1 soit \overline{DB} = \overline{DC}, donc on aurait B=C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.

Comme démontré plus haut, on a

\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

et d'après l'hypothèse, on a donc {\overline{DB}}/{\overline{DC}}={\overline{XB}}/{\overline{XC}} ce qui implique X=D. Les points D, E et F sont donc alignés.

Dans un espace affine de dimension n[modifier | modifier le code]

Le théorème précédent se généralise aux espaces affines de dimension n quelconque[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un E espace affine de dimension n, et (A_0,...,A_n) une base affine de E. On pose A_{n+1}=A_1. Pour i\in \lbrace 0..n \rbrace, soit M_i \in (A_iA_{i+1})\setminus\lbrace A_i,A_{i+1}\rbrace.

Les points M_0,...,M_n sont contenus dans un même hyperplan affine de E si et seulement si \prod\limits_{i\in\lbrace 0..n \rbrace}\frac{\overline{M_iA_{i+1}}}{\overline{M_iA_{i}}}=1 .

Triangle sphérique[modifier | modifier le code]

Figure de la sécante, illustration de la version du théorème dans un triangle sphérique.

Le théorème plan est démontré par Ménélaüs pour mettre en place la version sphérique du théorème[2] qui s'exprime de nos jours[3] sous la forme suivante:

Soit (ABC) un triangle sphérique. Si un grand cercle coupe les grands cercles (AB), (BC) et (CA) respectivement en D, E et F alors

\dfrac{\sin(DA)}{\sin(DB)}\times\dfrac{\sin(EB)}{\sin(EC)}\times\dfrac{\sin(FC)}{\sin(FA)}=1

Cette formule, appelée aussi formule de la figure sécante[4], ou théorème de Ménélaüs sur le quadrilatère sphérique complet[5] est à la base des résultats de géométrie sphérique dans l'Almageste de Ptolémée et a été longtemps la principale formule de l'astronomie arabe avant que ne soit démontrée la règle des sinus[4].

Principe de la démonstration : Par une projection de centre O (centre de la sphère) sur le plan ABC, les points D, E, F se projettent en D', E', et F' alignés et situés respectivement sur les droites (AB), (BC) et (CA). Ménélaüs démontre l'égalité des rapports sin(DA)/sin(DB) et D'A/D'B, etc. Puis il utilise son théorème plan dans le triangle (ABC) coupé par la droite (D'E'F').

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook, 2008, 9782748341393, pp 77-78
  2. Voir le Livre III, prop.1 et Théorème 1 des Sphériques de Ménélaüs, dont on trouve une version actualisée dans Ce mémoire de M. Duprez, 2011, p. 90-91
  3. Ménélaüs travaillant sur les cordes et non les sinus, parle lui de la corde du double de l'arc
  4. a et b Ahmed Djebbar, Une histoire des sciences arabes, Seuil, 2001, pp 183-184
  5. Boris A. Rosenfeld, Adolf P. Youschkevitch, «Géométrie» in, Roshi Rashed, Histoire des sciences arabes, Seuil, 1997, p. 153

Voir aussi[modifier | modifier le code]