Problème de Fagnano

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Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (it) (1682-1766) et son fils Giovanni Fagnano (en) (1715-1797)[1] :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit un triangle acutangle donné. Il existe un unique de périmètre minimal, inscrit dans . Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues de . Le triangle MNP est appelé le triangle orthique.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit ABC le triangle donné. Nous voulons trouver les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de soit minimal.

Premièrement, nous considérons une version plus simple du problème. Fixons un point P arbitraire sur (AB). Nous allons maintenant trouver les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, de sorte que soit de périmètre minimal (bien entendu, le minimum dépendra du choix de P). Soit l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et d'axe (AC). Alors , et . En posant , nous avons alors . De plus, , puisque par définition. Par conséquent, coupe les côtés [BC] et [AC] de aux points M et N respectivement et le périmètre de est égal à . D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de est égal à la longueur de la ligne brisée , qui est supérieure ou égale à . Ainsi, le périmètre de est supérieur ou égal au périmètre de et l'égalité a lieu précisément lorsque et .

Ainsi, nous devons trouver un point P de [AB] de sorte que soit de longueur minimale. Remarquons que ce segment est la base d'un triangle isocèle avec comme angle constant au point C et comme côtés . Ainsi, nous devons choisir P sur [AB] de sorte que soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.

Exo2.png

Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de . Pour prouver cette assertion, notons et les pieds des hauteurs de passant par A et B respectivement. Alors

ce qui montre que le point appartient à la droite . D'une manière analogue, appartient à la droite ( et donc et .

Exo2 2.png

En conclusion, de tous les triangles inscrits à , celui ayant ses sommets confondus avec les pieds des hauteurs issues de a son périmètre qui est minimal.

Cas du triangle obtusangle[modifier | modifier le code]

Lorsque est obtusangle, le triangle MNP est tel que et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que est dégénéré.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Paul J. Nahin (de), When Least Is Best, PUP, (lire en ligne), p. 65.

(en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Math, PUP, (lire en ligne), p. 30