Problème de Fagnano

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Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils Giovanni Fagnano (en) (1715-1797)[1] :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit ΔABC un triangle acutangle donné. Il existe un unique triangle ΔMNP de périmètre minimal, inscrit dans ΔABC. Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues de ΔABC. Le triangle ΔMNP est appelé le triangle orthique.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit ΔABC le triangle donné. On cherche les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de ΔABC soit minimal.

On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point P arbitraire sur (AB), afin de déterminer les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, tels que ΔMNP soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de P). Soit P1 l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et P2 d'axe (AC). Alors CP1 = CP2, et . En posant , on en déduit . De plus, 2γ < 180°, puisque γ < 90°, par définition. Par conséquent, la droite (P1P2) coupe les côtés [BC] et [AC] de ΔABC aux points M et N respectivement et le périmètre de ΔMNP est égal à la distance P1P2. D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de ΔZPY est égal à la longueur de la ligne brisée P1ZYP2, qui est supérieure ou égale à P1P2. Ainsi, le périmètre de ΔZPY est supérieur ou égal au périmètre de ΔPMN et l'égalité a lieu précisément lorsque Z = M et Y = N.

Ainsi, il faut trouver un point P de [AB] de sorte que [P1P2] soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle P2P1C avec comme angle constant 2γ au point C et comme côtés CP1 = CP2 = CP. Ainsi, il faut choisir P sur [AB] de sorte que CP1 = CP soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.

Exo2.png

Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de ΔABC. Pour prouver cette assertion, notons M1 et N1 les pieds des hauteurs de ΔABC passant par A et B respectivement. Alors

ce qui montre que le point P1 appartient à la droite (M1N1). D'une manière analogue, P2 appartient à la droite (M1N1) et donc M = M1 et N = N1.

Exo2 2.png

En conclusion, de tous les triangles inscrits à ΔABC, celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de ΔABC.

Cas du triangle obtusangle[modifier | modifier le code]

Lorsque ΔABC est obtusangle, le triangle MNP est tel que M, N et C sont confondus, et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que ΔMNP est dégénéré.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Paul J. Nahin (de), When Least Is Best, PUP, (lire en ligne), p. 65.

(en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Math, PUP, (lire en ligne), p. 30