Triangle de Kepler

Un triangle de Kepler est un triangle rectangle dont les carrés des longueurs des côtés sont en progression géométrique selon la raison du nombre d'or $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ . Les rapports des longueurs des côtés sont donc $1 : \sqrt φ : φ$ (approximativement 1 : 1,272 : 1,618)^[1].

Les angles non droits valent $\arcsin {1 \over \varphi }$ et $\arcsin {1 \over {\sqrt {\varphi }}}$ radians, soit environ 38° et 52°.

Les triangles possédant de telles propriétés portent le nom du mathématicien et astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630), qui le premier démontra que ces triangles sont caractérisés par un rapport entre le petit côté et l'hypoténuse égal au nombre d'or^[2]. Ces triangles combinent le théorème de Pythagore et le nombre d'or, notions qui fascinaient Kepler.

Particularité : dans ces triangles, une hauteur, une médiane, et une bissectrice sont concourantes (hauteur relative à l'hypoténuse, médiane relative au petit côté de l'angle droit et bissectrice relative à l'autre côté de l'angle droit).

Orthogonalité

Le fait qu'un triangle de côtés $1$ , $\sqrt φ$ et $φ$ forme un triangle rectangle provient de la propriété du nombre d'or $φ$ :

\varphi ^{2}=\varphi +1

que l'on peut réécrire :

(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.

La réciproque du théorème de Pythagore permet d'en déduire que ce triangle est rectangle.

Caractérisation parmi les triangles rectangles

A similitude près, le triangle de Kepler est l'unique triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont en progression géométrique.

En effet si $r$ est la raison de cette progression, la condition de Pythagore s'écrit $1+r^{2}=(r^{2})^{2}$ soit $r^{2}=\varphi ,r={\sqrt {\varphi }}$ .

Relation aux moyennes arithmétique, harmonique et géométrique

Pour deux nombres réels positifs, leurs moyenne arithmétique, leur moyenne géométrique, et leur moyenne harmonique sont les longueurs des côtés d'un triangle rectangle si et seulement s'il s'agit d'un triangle de Kepler^[3].

Construction

Un triangle de Kepler peut être construit à la règle et au compas en créant d'abord un rectangle d'or :

construire un carré ;
tracer un segment reliant le milieu d'un côté du carré à un sommet du côté opposé ;
utiliser ce segment comme rayon pour tracer un arc déterminant la longueur du rectangle ;
achever le rectangle d'or ;
utiliser le côté le plus long de ce rectangle pour tracer un arc qui coupe le côté opposé du rectangle ;
utiliser ce point d'intersection pour l'hypoténuse du triangle de Kepler.

Kepler l'a construit différemment, si l'on en croit une lettre à son ancien professeur Michael Maestlin^[2].

Une coïncidence mathématique

Soit un triangle de Kepler de côtés de longueurs $a, a \sqrt φ, aφ$ . On considère :

le cercle circonscrit à ce triangle
un carré de côté de longueur égale au côté de longueur intermédiaire du triangle.

On constate que les périmètres du carré ( $4 a \sqrt φ$ ) et du cercle ( $a π φ$ ) sont égaux à moins de 0,1 % près.

Il s'agit de la coïncidence mathématique $\pi \approx {4 \over {\sqrt {\varphi }}}$ . Le carré et le cercle ne peuvent pas avoir exactement le même périmètre, car sinon ce serait une solution au problème classique de la quadrature du cercle, qui est impossible à résoudre du fait que $π$ est un nombre transcendant.

Les pyramides d'Égypte

Selon certaines sources, le triangle de Kepler apparaîtrait dans la conception des pyramides d'Égypte^[4]^,^[5]. Néanmoins, il est peu probable que les anciens Égyptiens aient connu le nombre d'or $φ$ et encore moins l'aient utilisé dans leurs bâtiments^[6].

Notes et références

↑ (en) Roger Herz-Fischler, The Shape of the Great Pyramid, Wilfrid Laurier University Press, 2000, 293 p. (ISBN 0-88920-324-5, lire en ligne).
↑ ^{a et b} (en) Mario Livio, The Golden Ratio : The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, New York, Broadway Books, 2002, 149 p. (ISBN 0-7679-0815-5).
↑ (en) Angelo Di Domenico, « The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means », The Mathematical Gazette numéro 89, 2005.
↑ (en) Paul Calter, Squaring the circle.
↑ (en) Mark Herkommer, The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence.
↑ (en) George Markowsky, « Misconceptions about the Golden Ratio », College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 23, n^o 1,‎ janvier 1992, p. 2 à 19 (DOI 10.2307/2686193, JSTOR 2686193, lire en ligne [PDF]) :
« It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings. »

Voir aussi

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kepler triangle » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

Portail de la géométrie

[1] (en) Roger Herz-Fischler, The Shape of the Great Pyramid, Wilfrid Laurier University Press, 2000, 293 p. (ISBN 0-88920-324-5, lire en ligne).

[livio-2] {a et b} (en) Mario Livio, The Golden Ratio : The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, New York, Broadway Books, 2002, 149 p. (ISBN 0-7679-0815-5).

[3] (en) Angelo Di Domenico, « The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means », The Mathematical Gazette numéro 89, 2005.

[4] (en) Paul Calter, Squaring the circle.

[5] (en) Mark Herkommer, The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence.

[6] (en) George Markowsky, « Misconceptions about the Golden Ratio », College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 23, n^o 1,‎ janvier 1992, p. 2 à 19 (DOI 10.2307/2686193, JSTOR 2686193, lire en ligne [PDF]) :
« It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings. »

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v · m Johannes Kepler
Travaux	Conjecture de Kepler Lois de Kepler Mouvement képlérien Triangle de Kepler Équation de Kepler Solide de Kepler-Poinsot Super Nova de Kepler
Ouvrages	Mysterium Cosmographicum Astronomia nova Epitome Astronomiae Copernicanae Harmonices Mundi Tables rudolphines Le Songe ou l'Astronomie lunaire

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron