Triangle de Kepler

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Un triangle de Kepler, rectangle, comprend trois côtés dont les carrés respectifs sont en progression géométrique selon la raison du nombre d'or.

Un triangle de Kepler est un triangle rectangle dont les carrés des longueurs des côtés sont en progression géométrique selon la raison du nombre d'or . Les rapports des côtés sont 1 : φ : φ (approximativement 1 : 1,272 : 1,618)[1].

Les triangles possédant de telles propriétés sont nommés d'après le mathématicien et astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630), qui le premier démontra que ce triangle est caractérisé par un rapport entre le petit côté et l'hypoténuse égal au nombre d'or[2]. Ces triangles combinent le théorème de Pythagore et le nombre d'or, notions qui fascinaient Kepler.

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Le fait qu'un triangle de côtés 1, φ et φ forme un triangle rectangle provient de la propriété du nombre d'or φ:

que l'on peut réécrire :

La réciproque du théorème de Pythagore permet d'en déduire que ce triangle est rectangle.

Relation aux moyennes arithmétique, harmonique et géométrique[modifier | modifier le code]

Pour deux nombres réels positifs, leurs moyenne arithmétique, leur moyenne géométrique, et leur moyenne harmonique sont les longueurs des côtés d'un triangle rectangle si et seulement s'il s'agit d'un triangle de Kepler[3].

Une méthode pour construire un triangle de Kepler à l'aide d'un rectangle d'or.

Construction[modifier | modifier le code]

Un triangle de Kepler peut être construit à la règle et au compas en créant d'abord un rectangle d'or :

  1. construire un carré ;
  2. tracer un segment reliant le milieu d'un côté du carré à un sommet du côté opposé ;
  3. utiliser ce segment comme rayon pour tracer un arc déterminant la longueur du rectangle ;
  4. achever le rectangle d'or ;
  5. utiliser le côté le plus long de ce rectangle pour tracer un arc qui coupe le côté opposé du rectangle ;
  6. utiliser ce point d'intersection pour l'hypoténuse du triangle de Képler.

Kepler l'a construit différemment, si l'on en croit une lettre à son ancien professeur Michael Maestlin[2].

Une coïncidence mathématique[modifier | modifier le code]

Le cercle et le carré ont à peu près le même périmètre

Soit un triangle de Kepler de côtés de longueurs a, aφ, . On considère :

  • le cercle circonscrit à ce triangle
  • un carré de côté de longueur égale au côté de longueur intermédiaire du triangle.

On constate que les périmètres du carré (4aφ) et du cercle (aπφ) sont égaux à moins de 0,1 % près.

Il s'agit de la coïncidence mathématique . Le carré et le cercle ne peuvent pas avoir exactement le même périmètre, car sinon ce serait une solution au problème classique de la quadrature du cercle, qui est impossible à résoudre du fait que π est un nombre transcendant.

Les pyramides d'Égypte[modifier | modifier le code]

Selon certaines sources, le triangle de Kepler apparaîtrait dans la conception des pyramides d'Égypte[4],[5]. Néanmoins, il est peu probable que les anciens Égyptiens aient connu le nombre d'or φ et encore moins l'aient utilisé dans leurs bâtiments[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Roger Herz-Fischler, The Shape of the Great Pyramid, Wilfrid Laurier University Press, (ISBN 0-88920-324-5, lire en ligne).
  2. a et b (en) Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, New York, Broadway Books, , 149 p. (ISBN 0-7679-0815-5).
  3. (en) Angelo Di Domenico, « The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means », The Mathematical Gazette numéro 89, 2005.
  4. (en) Paul Calter, Squaring the circle.
  5. (en) Mark Herkommer, The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence.
  6. (en) George Markowsky, « Misconceptions about the Golden Ratio », College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 23, no 1,‎ , p. 2 à 19 (DOI 10.2307/2686193, JSTOR 2686193, lire en ligne [PDF]) :

    « It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings. »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]