Théorème de Neuberg

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En mathématiques, le théorème de Neuberg est un résultat de géométrie du triangle.

Formulation de l'énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un triangle ABC.

Neuberg 1.gif

Soit 01 le centre du carré extérieur ayant comme côté AB.

Neuberg 2.gif

On construit ainsi 01, 02 et 03, les centres des trois carrés construits à l'extérieur du triangle ABC.

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On construit ensuite I1, le centre du carré intérieur ayant comme côté 0203.

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On construit ainsi I1, I2 et I3, les centres des trois carrés construits à l'intérieur du triangle 010203.

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Alors I1, I2 et I3 sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Neuberg 6.gif

Une démonstration possible consiste à utiliser les propriétés des rotations et le théorème des milieux. En effet, si l'on appelle A' le symétrique de A par rapport à O3 et B' le symétrique de B par rapport à O2, la rotation de centre C et d'angle droit envoie A et B' en A' et B. les segments [AB'] et [B'A] sont donc de même longueur et perpendiculaires. Or la droite (I1O3) est la droite des milieux dans le triangle ABA' et il en est de même de la droite (I1O2) dans le triangle BAB'. On a donc bien les segment [I1O3] et [I1O2] également de même longueur et perpendiculaires. I1 est bien centre d'un carré s'appuyant sur [O3O2] . Et il en est de même des autres milieux.

Voir aussi[modifier | modifier le code]