Triangle orthique

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Le triangle orthique d'un triangle de référence est le triangle ayant pour sommets les pieds des hauteurs du triangle de référence.

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs, concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices du triangle orthique hAhBhC.

Triangle-perpendicular.svg

Les quadruplets de points (C, B, hC, hB) ; (B, A, hB, hA) et (A, C, hA, hC) sont cocycliques. Les centres des cercles en question sont les milieux des côtés du triangle ABC (selon le théorème de Thalès pour le cercle).

On a les égalités d'angles inscrits :

Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique[modifier | modifier le code]

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons joignant le centre du cercle circonscrit aux sommets du triangle ABC.

Dans un triangle dont les angles sont aigus, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique.

Triangle orthique 2.gif

Soit (c1) le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O et (t) la tangente en A. (c2) est le cercle de diamètre [BC]. B' et C' sont situés sur ce cercle.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B'C') est parallèle à (t). Donc (OA) est perpendiculaire à (B'C').

De même (OB) est perpendiculaire à (A'C') et (OC) est perpendiculaire à (A'B').

On peut dire aussi :

Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique.

Le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit est le triangle tangentiel, ses côtés sont donc parallèles à ceux du triangle orthique.

Le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard qui se ferme.[réf. nécessaire]

Problème de Fagnano[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Problème de Fagnano.

Le triangle orthique est la solution au problème d'optimisation visant à trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

Triangle médian du triangle orthique[modifier | modifier le code]

Triangle median orthique.gif

Soit un triangle ABC non rectangle, soient A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C, on note A1 et A2 les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC), A3 et A4 les symétriques de A’ par rapport à A1 et A2.

La droite (A3A4) est parallèle à (A1A2), les points B’, C’, A3 et A4 sont alignés, la droite (A1A2) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique de ABC, (A1A2) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A3A4 est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés de ABC.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Sources[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]