Théorème de Gua

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Tétraèdre trirectangle en O.

En mathématiques, le théorème de De Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. De Gua le démontre en 1783 en utilisant les formules de Heron d'Alexandrie[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit O,A,B,C un tétraèdre tri-rectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Notons a,b,c les longueurs respectives des arêtes OA,OB,OC

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6=c/3=b/3=a/3 mais aussi à h/3 où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur est normal au plan ABC, cette hauteur vaut

On a donc, en égalant les volumes : . Soit en simplifiant  ; la formule demandée.

Extension[modifier | modifier le code]

La formule s'étend aux dimensions supérieures, ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes[2] dès 1619/1623.

Une démonstration de ce cas général se trouve dans le numéro 6 de l'American Monthly 2006[3].

Références[modifier | modifier le code]

  1. Histoire de l'Académie royale des sciences, , 374 et suivantes. p. (lire en ligne).
  2. Adam et Tannery, Œuvres complètes de Descartes (lire en ligne), p. 256 et suivantes.
  3. (en) Quadrat, « Pythagoras' theorem for areas. », American Monthly,‎ (lire en ligne).