Triplet pythagoricien

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Un triplet pythagoricien vérifie la relation de Pythagore : a2 + b2 = c2.

En arithmétique, un triplet pythagoricien est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.

Historique[modifier | modifier le code]

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de triplets pythagoriciens remonte à la tablette Plimpton 322[1], un document écrit vers 1800 av. J.-C. dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former des triplets pythagoriciens.

Triplets primitifs[modifier | modifier le code]

Un triplet pythagoricien (x, y, z) est dit primitif si les trois entiers x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Tout triplet pythagoricien (x, y, z) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (x, y, z).

Si l'on divise par z2, on obtient :

c'est-à-dire que les triplets pythagoriciens primitifs permettent de trouver les points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par .

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Théorème fondamental[modifier | modifier le code]

Nuage de points de tous les couples d'entiers tels que soit pythagoricien avec et inférieurs à 4 500.

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif alors (y, x, z) aussi, et x ou y est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence[2],[3] entre

  • (i) est un triplet pythagoricien primitif avec impair.
  • (ii) Il existe avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que

Une reformulation de ce théorème est : est un triplet pythagoricien primitif avec impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux tels que

Le cas implique que tout nombre impair > 1 fait partie d'au moins un triplet primitif.

Génération algébrique et géométrique[modifier | modifier le code]

Berggren[5] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3,4,5) par application répétée de , et , avec :

De plus cette décomposition est unique[6].

Géométriquement, le produit de par un triplet (x, y, z) correspond à la construction Φ effectuée pour le point , où :

  • est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
  • est la symétrie de centre O ;
  • la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
  • et Φ l'application du cercle unité dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de avec la droite passant par M et P(1,1).

Exemples[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Tablette Plimpton 322 », sur Le Portail des IREM
  2. (en) Wacław Sierpiński, Pythagorean triangles, Dover, (lire en ligne), p. 4-7.
  3. (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », (lire en ligne), p. 112.
  4. Pour une démonstration, voir par exemple Sierpiński 2003, p. 4 ou cet exercice corrigé de la leçon d'arithmétique sur la Wikiversité.
  5. « Pytagoreiska trianglar », Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, p. 129-139.
  6. André Stoll, « Générations géométrique et algébrique des triplets pythagoriciens », L’Ouvert, no 100-101,‎ , p. 1 (lire en ligne [PDF]).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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