Triplet pythagoricien

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Animation illustrant le plus simple triplet pythagoricien : 32 + 42 = 52.

En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : . Le triplet pythagoricien le plus « simple » est (3, 4, 5). Il est également le plus connu, ainsi que ses multiples : (6, 8, 10), (9, 12, 15)…

A tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a, b, c, forcément rectangle d’hypoténuse c, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers a, b, et de diagonale entière c.

Historique[modifier | modifier le code]

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonterait à la tablette Plimpton 322, un document écrit vers dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens[1],[2].

Mais les spécialistes ne sont pas tous d'accord, et d'autres interprétations de la tablette ont été proposées[3].

Pythagore, au VIe siècle avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus de Lycie, au Ve siècle de notre ère, dans son commentaire sur le livre I des Éléments d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui , où est un entier strictement positif[3].

Toujours d'après Proclus, Platon connaissait une deuxième famille infinie de triplets pythagoriciens : [3].

Cas général[modifier | modifier le code]

Les deux formules connues des Grecs montrent qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens et que tout entier fait partie d'un tel triplet (la première formule faisant intervenir et la deuxième ).

Voici un théorème donnant une formule générant l'ensemble de ces triplets.

Théorème — Le triplet (a, b, c) est pythagoricien si et seulement s'il existe deux entiers tels que

et

On en déduit que les triplets pythagoriciens sont les triplets de la forme avec et entiers.

La démonstration classique utilise une paramétrisation rationnelle du cercle unité[4] :

Cas des triplets primitifs[modifier | modifier le code]

Un triplet pythagoricien (a, b, c) est dit primitif si les trois entiers a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième). Le triplet pythagoricien primitif le plus connu est (3, 4, 5), mais Il existe une infinité de triplets pythagoriciens primitifs.

Tout triplet pythagoricien (a, b, c) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (a, b, c).

Si l'on divise par c2, on obtient :

Autrement dit, les triplets pythagoriciens primitifs correspondent biunivoquement aux points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par .

Liste des 16 triplets primitifs[Note 1] dont tous les termes sont inférieurs à 100, classés par ordre croissant de c :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Théorème fondamental décrivant tous les triplets primitifs[modifier | modifier le code]

Si (a, b, c) est un triplet pythagoricien primitif alors (b, a, c) aussi, et a ou b est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence[5],[6],[7] entre

  • (i) est un triplet pythagoricien primitif avec impair.
  • (ii) Il existe un couple de nombres avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que

Remarques :

  • La famille était connue d'Euclide[3].
  • Pour un triplet primitif (a, b, c) avec a impair, le couple (p, q) est unique : .
  • Le cas et p pair implique que tout nombre multiple de 4 : fait partie d'au moins un triplet primitif : (famille "de Platon" donnée ci-dessus).
  • En posant et , une reformulation de ce théorème est :
Théorème —  est un triplet pythagoricien primitif avec impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux tels que
  • Le cas implique que tout nombre impair fait partie d'au moins un triplet primitif : (famille équivalente à celle de Pythagore donnée ci-dessus).

Propriétés d'un triplet pythagoricien primitif[modifier | modifier le code]

Un triplet primitif avec impair, donnés par le théorème précédent possède les propriétés suivantes :

  • b est multiple de 4 et c est impair ;
  • c n'est pas forcément premier comme le montre l'exemple (7, 24, 25) ;
  • il existe des triplets où a et c sont premiers, comme (5, 12, 13), mais on ne sait pas s'il en existe une infinité[10] (cf. la suite A067756 de l'OEIS) ;
  • un entier exactement parmi a et b est multiple de 3 ;
  • un entier exactement parmi a, b et c est multiple de 5 ;
  • Triangle rectangle (ABC) associé au triplet (a,b,c)
    abc est multiple de 60 (conséquence des trois propriétés précédentes) ;
  • la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle associé, , n'est pas entière ;
  • l'aire du triangle associé est un multiple de 6 et c'est par définition un nombre congruent ;
  • tout entier qui n'est pas de la forme 4k + 2 appartient à un triplet pythagoricien primitif, et aucun de la forme 4k + 2 n'y appartient (puisque b est multiple de 4) ;
  • les facteurs premiers de c sont de la forme 4k + 1, donc c également, comme pour toute somme de deux carrés premiers entre eux impaire ;
  • réciproquement tout produit de nombres premiers de la forme 4k + 1 est le troisième terme d'un triplet pythagoricien primitif (cf. la suite A008846 de l'OEIS) ;
  • et sont des carrés ;
  • la réciproque de la propriété précédente est fausse comme le montre le triplet (1, 8, 9) ;
  • Triangle (3, 4, 5) avec son cercle inscrit de rayon 1.
    l'aire n'est ni un carré[11], ni le double d'un carré[12], théorème dû à Fermat[3] ;
  • Les entiers a,b,c ne peuvent être simultanément des puissances n-ièmes avec (conséquence du grand théorème de Fermat !)
  • les entiers p et q s'interprètent dans le triangle associé par la formule , puisque (voir figure ci-contre) ;  ;
  • le rayon du cercle inscrit est un entier, ainsi que les rayons des 3 cercles exinscrits : , ,  ; par exemple pour le triplet (3, 4, 5), p = 2 et q = 1 ; les rayons successifs sont 1, 2, 3 et 6 ;
  • le diamètre du cercle circonscrit, égal à c, est évidemment entier, mais pas son rayon c/2.

Génération algébrique et géométrique[modifier | modifier le code]

Berggren[13] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3, 4, 5) par application répétée de , et , avec :

De plus, cette décomposition est unique[14].

Géométriquement, le produit de par un triplet (a, b, c) correspond à la construction Φ effectuée pour le point , où[3] :

  • est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
  • est la symétrie de centre O ;
  • la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
  • et Φ l'application du cercle unité dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de avec la droite passant par M et P(1,1).

Exemples[modifier | modifier le code]

Densité[modifier | modifier le code]

Si l'on note le nombre de triplets pythagoriciens primitifs de troisième terme inférieur et leur nombre de somme inférieure à , Derrick Norman Lehmer (en) a montré en 1900 que lorsque tend vers l'infini, et [15].

Problèmes de coloration[modifier | modifier le code]

On peut considérer l'ensemble des entiers naturels comme un graphe dont les sommets sont les nombres et tels que les sommets reliés par une arête soient ceux qui font partie d'un même triplet.

Dès lors, on se demande s'il est possible de colorier le graphe de telle sorte que les éléments d'un même triplet ne soient pas tous de la même couleur[Note 2],[16].

En d'autres termes on cherche à colorier le graphe de façon à ce qu'il n'existe pas de 3-clique monochrome. Ce problème a initialement été posé par Paul Erdős et Ronald Graham[3].

En se limitant à deux couleurs il a été montré en 2016, et vérifié en 2019 grâce à Coq, qu'il n'est possible d'aller que jusqu'aux 7824 premiers entiers[3],[17].

En utilisant trois couleurs différentes, il existe un coloriage admissible pour les 11066 premiers entiers mais au-delà le problème reste ouvert[3].

Une visualisation des triplets pythagoriciens[modifier | modifier le code]

Visualisation des triplets associée à la fonction carré.
Nuage de points de tous les couples d'entiers tels que soit pythagoricien avec et inférieurs à 4 500.

La fonction complexe laisse stable l'anneau Z[i] des entiers de Gauss. À chaque point de l'image de Z[i] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet, , et ). Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens[18] et une explication de la présence des paraboles dans le nuage de points ci-contre.

Applications[modifier | modifier le code]

  • La corde à nœuds peut être utilisée pour construire des angles droits en délimitant un triangle dont les longueurs des côtés sont les éléments d'un triplet pythagoricien[Note 3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pythagorean triple » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. De nombreux triplets pythagoriciens, dont tous les termes sont inférieurs à 100 ne sont pas primitifs. Exemple (6, 8, 10) qui est un multiple de (3, 4, 5).
  2. Pour les vingt premiers entiers un exemple d'une telle coloration est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. On remarque par exemple que les triplets (3, 4, 5) et (5, 12, 13) ne sont effectivement pas monochromes.
  3. En général, on utilise 12 intervalles formant trois côtés de longueur 3, 4 et 5.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Goichot, « Tablette Plimpton 322 », sur Le Portail des IREM, , revu par Christine Proust, 02/2017.
  2. Christine Proust, « Plimpton 322 : à la recherche des rectangles sexagésimaux, une version mésopotamienne de la recherche des « triplets pythagoriciens » », sur Images des mathématiques, (consulté en août 2020).
  3. a b c d e f g h et i Jean-Paul Delahaye, « Dans les arcanes des triplets pythagoriciens », Pour la science, no 514,‎ , p. 80-85 (lire en ligne).
  4. Voir par exemple, Pierre Guillot, Cours de mathématiques L1, TheBookEdition, p. 229.
  5. Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, (ISBN 978-2-01011950-7, OCLC 20000703), p. 94.
  6. (en) Wacław Sierpiński, Pythagorean triangles, Dover, (1re éd. 1962) (lire en ligne), p. 4-7.
  7. (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », (lire en ligne), p. 112.
  8. Pour une démonstration, voir par exemple Sierpiński 2003, p. 4 ou cet exercice corrigé de la leçon d'arithmétique sur Wikiversité.
  9. Gérard Villemin, « Table des triplets », (consulté le 27 mai 2020).
  10. Sierpiński 2003, p. 6.
  11. (en) R. D. Carmichael, Diophantine Analysis, (lire en ligne), p. 13.
  12. Carmichael 1915, p. 17 (Exercises : 1.).
  13. (sv) B. Berggren, « Pytagoreiska trianglar », Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, 1934, p. 129-139.
  14. André Stoll, « Générations géométrique et algébrique des triplets pythagoriciens », L’Ouvert, nos 100-101,‎ , p. 1 (lire en ligne [PDF]).
  15. (en) D. N. LEHMER, « Asymptotic Evaluation of Certain Totient Sums », Amer. Journ. Math. vol 22,‎ , p. 293-335 (lire en ligne)
  16. Shalom Eliahou et Jean Fromentin, « Pythagore et mixité », sur Images des mathématiques, (consulté en aout 2020).
  17. (en) [vidéo] Numberphile, The Problem with 7825 sur YouTube.
  18. (en) « All possible pythagorean triples visualized », sur YouTube.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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