Points de Brocard

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Le premier point de Brocard, vu comme intersection de trois cercles.

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point P tel que les angles et orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point P' tel que les angles et orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Angle de Brocard[modifier | modifier le code]

Tous les angles et sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté et qui peut être calculé à partir de la formule :

S désigne l'aire du triangle, alors que a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.

Droite de Brocard[modifier | modifier le code]

On appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Elles ne sont pas à confondre avec l'axe de Brocard, qui est la droite reliant le centre du cercle circonscrit au triangle à son point de Lemoine.

Coordonnées barycentriques des points de Brocard[modifier | modifier le code]

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont :  ;
celles du second point de Brocard sont : .

Construction[modifier | modifier le code]

Points de Brocard d'un triangle, avec les cercles de construction.

En considérant que le triangle ABC est dans le sens direct, le premier point de Brocard du triangle s'obtient en traçant le cercle par A et B et tangent à (BC) (son centre est donc à l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (BC) passant par B), le cercle passant par B et C et tangent à (CA) et le cercle passant par C et A et tangent à (AB). Ces trois cercles se croisent en un point, qui est le premier point de Brocard.

De façon similaire, le deuxième point de Brocard du triangle ABC s'obtient en traçant le cercle passant par A et B et tangent à (AC), le cercle passant par B et C et tangent à (BA) et le cercle passant par C et A et tangent à (CB). Ces trois cercles se croisent au deuxième point de Brocard.

Propriétés remarquables[modifier | modifier le code]

  • Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
  • La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Troisième point de Brocard[modifier | modifier le code]

Les coordonnées barycentriques des premier et second points de Brocard invitent à créer un troisième point de Brocard[1], dont les coordonnées barycentriques sont : .

Ce point porte le numéro X76 dans la nomenclature de Kimberling[2]. Il est situé sur l'hyperbole de Kiepert.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]