Points de Brocard

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Le premier point de Brocard, vu comme intersection de trois cercles.

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point P tel que les angles et orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point P' tel que les angles et orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles et sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté et qui peut être calculé à partir de la formule :

S désigne l'aire du triangle, alors que a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.

Droite de Brocard[modifier | modifier le code]

On appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Coordonnées barycentriques des points de Brocard[modifier | modifier le code]

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont :  ;
celles du second point de Brocard sont : .

Propriétés remarquables[modifier | modifier le code]

  • Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
  • La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Troisième point de Brocard[modifier | modifier le code]

Les coordonnées barycentriques des premier et second points de Brocard invitent à créer un troisième point de Brocard[1], dont les coordonnées barycentriques sont : .

Ce point porte le numéro X76 dans la nomenclature de Kimberling[2]. Il est situé sur l'hyperbole de Kiepert.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]