Triangle d'or (géométrie)

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Un triangle d'or. Le rapport a/b est le nombre d'or φ.

Un triangle d'or, également connu comme triangle sublime[1], est un triangle isocèle dans lequel le côté en double a une longueur dans un rapport avec celle du côté restant égal au nombre d'or :

Le vocabulaire n'est pas stabilisé dans ce domaine. En effet, certains auteurs[2] considèrent également comme « triangle d'or » les triangles où ce rapport est égal à  :

Définitions de
cet article
Définitions
alternatives
Triangle d'or
Triangle sublime
Triangle d'or aigu 36°
Gnomon d'or
Triangle d'argent
Triangle d'or obtus 108°
Un pentagramme : chaque branche est un triangle d'or.

Occurrences[modifier | modifier le code]

Les branches du pentagramme sont des triangles d'or.

Dans un décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Triangle d'or ABC découpé en un triangle d'or BXC et un gnomon d'or AXC.

L'angle au sommet a pour mesure

Comme la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°, les angles de base font chacun 72°[1].

Le triangle d'or est le seul triangle dont les angles sont dans des rapports 2, 2 et 1[3].

Gnomon d'or[modifier | modifier le code]

Deux gnomons d'or et un triangle d'or pavant un pentagone.

Le gnomon d'or ou triangle d'argent est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport des longueurs des côtés de même longueur au troisième côté est l'inverse 1/φ du nombre d'or.

Il s'agit du seul triangle dont les mesures des angles sont dans un rapport 1, 1 et 3. Les deux angles aigus font 36° et l'angle obtus 108°.

Dans la figure ci-contre, AXC est un gnomon d'or. Les longueurs AX et CX valent φ, tandis que la longueur AC vaut 1+φ[4].

Cette figure montre qu'un triangle d'or peut être coupé en un triangle d'or et un gnomon d'or. Il en va de même pour le gnomon d'or.

On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or. Ces triangles isocèles peuvent par ailleurs être utilisés pour produire les pavages de Penrose.

Triangles d'or inscrits dans une spirale logarithmique.

Spirale logarithmique[modifier | modifier le code]

Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or[5]. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a b et c (en) Kimberly Elam, Geometry of Design, New York, Princeton Architectural Press, (ISBN 1-56898-249-6)
  2. Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100
  3. (en) « Tilings Encyclopedia »
  4. (en) Arthur Livio, Concepts and Images: Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, (ISBN 0-8176-3620-X)
  5. (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, (ISBN 0-486-22254-3)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Crédits de traduction[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]