Triangle d'or (géométrie)

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Triangle d'or. Rapport a/b = nombre d'or φ. Angle au sommet : = 36°. Angles de base : 72° chacun.

Un triangle d'or ou triangle sublime[1] est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or  :

(Voir 1ère figure.)

Le vocabulaire n'est pas stabilisé ; en effet, certains auteurs[2] considèrent aussi comme « triangles d'or » les triangles où ce rapport est (Voir § "Tableau récapitulatif".)

Triangle d'or ABC découpé en un triangle d'or BXC et un gnomon d'or AXC.

Angles[modifier | modifier le code]

Dans la 2ème figure, BXC est un triangle d'or.

  • L'angle BCX au sommet C a pour mesure[3] :
Donc le triangle d'or est un triangle (isocèle) aigu.
  • Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait , les angles de base CBX et CXB valent chacun :
[1]
Remarque :
  • Le triangle d'or est le seul triangle dont les angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°)[4].

Occurrences[modifier | modifier le code]

Pentagramme régulier : chaque branche est un triangle d'or.
  • Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure).
  • Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or[1].

Gnomon d'or[modifier | modifier le code]

Un gnomon d'or ou triangle d'argent est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse du nombre d'or :

Le vocabulaire n'est pas stabilisé ; en effet, certains auteurs[2] considèrent aussi comme « triangles d'or » les gnomons d'or. (Voir § "Tableau récapitulatif".)

Angles[modifier | modifier le code]

Dans la 2ème figure, AXC est un gnomon d'or. (Les longueurs AX et CX valent , et la longueur AC vaut .)[5]

  • L'angle AXC au sommet X a pour mesure :
Donc le gnomon d'or est un triangle (isocèle) obtus.
Remarque :
  • Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait , les angles de base CAX et ACX valent chacun :
Remarque :
  • Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).

Tableau récapitulatif[modifier | modifier le code]

Définitions de
cet article
Définitions
alternatives
Angle au sommet Angles égaux de base
Triangle d'or
Triangle sublime
Triangle d'or aigu 36° 72°
Gnomon d'or
Triangle d'argent
Triangle d'or obtus 108° 36°

Triangle d'or et gnomon d'or associés[modifier | modifier le code]

Découpages[modifier | modifier le code]

Triangle (rouge) et gnomon (bleu) d'or découpés en un triangle (3 couleurs) et un gnomon (2 couleurs) d'or.

La figure ci-contre montre que :

  • En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
  • En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.

Pavages[modifier | modifier le code]

Deux gnomons d'or et un triangle d'or pavant un pentagone.
  • On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or[6] (voir figure ci-contre).
  • Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.

Spirale logarithmique[modifier | modifier le code]

Triangles d'or inscrits dans une spirale logarithmique.

Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or[7]. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a b et c (en) Kimberly Elam, Geometry of Design, New York, Princeton Architectural Press, (ISBN 1-56898-249-6)
  2. a et b Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 23 décembre 2019)
  4. (en) « Tilings Encyclopedia »
  5. (en) Arthur Livio, Concepts and Images: Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, (ISBN 0-8176-3620-X)
  6. (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 26 décembre 2019)
  7. (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, (ISBN 0-486-22254-3)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Crédits de traduction[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]