Triangle d'or (géométrie)

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Fig. 1 - Triangle d'or. Rapport a/b = nombre d'or φ. Angle au sommet : = 36°. Angles de base : 72° chacun.

Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime[1] est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or  :

(voir 1ère figure).

Certains auteurs[2] nomment également « triangles d'or » les triangles où ce rapport vaut (voir § "Tableau récapitulatif" pour les différentes appellations).

Fig. 2 - Triangle d'or ABC découpé en un triangle d'or BXC et un gnomon d'or AXC.

Angles du triangle d'or[modifier | modifier le code]

Dans la 2e figure, BXC est un triangle d'or puisque le rapport de la longueur du côté BC à la longueur du côté BX est le nombre d'or  :

  • L'angle BCX au sommet C a pour mesure[3] :
  • Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait , les angles de base CBX et CXB valent chacun :
[1] (ou encore ).
  • Le triangle d'or est un triangle aigu puisque tous ses angles sont inférieurs à l'angle droit.
  • Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°)[4].

Occurrences[modifier | modifier le code]

Pentagramme régulier : chaque branche est un triangle d'or.
  • Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure).
  • Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or[1].
  • Les pavages de Penrose font intervenir des triangles d'or.

Gnomon d'or[modifier | modifier le code]

Un gnomon d'or ou triangle d'argent ou, pour certains auteurs, triangle d'or obtus[2] est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse du nombre d'or :

Angles du gnomon d'or[modifier | modifier le code]

Dans la 2e figure, les longueurs AX et CX valant et la longueur AC valant , AXC est un gnomon d'or[5].

  • L'angle AXC au sommet X a pour mesure :
(ou encore ).
  • Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait , les angles de base CAX et ACX valent chacun :
(ou encore ).
  • Le gnomon d'or est un triangle obtus puisqu'il possède un angle obtus et deux angles aigus.
  • Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).
Triangle dor cure dents.png

Construction en cure-dents ou à l'aide d'un pentagone articulé[modifier | modifier le code]

Si on dispose cinq cure-dents identiques de sorte que, comme dans la figure ci-contre, A, I, B soient alignés ainsi que A, J, C, l'angle en A vaut et on obtient trois triangle d'or ABC, BCJ, CBI, et quatre triangles d'argent JAB, IAC, KBC, KIJ. Cette construction peut aussi être obtenue par un pentagone articulé à barres de même longueur AICBJ.

Tableau récapitulatif[modifier | modifier le code]

Définitions de
cet article
Définitions
alternatives
Angle au sommet Angles égaux de base
Triangle d'or
Triangle sublime
Triangle d'or aigu 36° 72°
Gnomon d'or
Triangle d'argent
Triangle d'or obtus 108° 36°
Triangle (rouge) et gnomon (bleu) d'or découpés en un triangle (3 couleurs) et un gnomon (2 couleurs) d'or.

Triangle d'or et gnomon d'or associés[modifier | modifier le code]

Découpages[modifier | modifier le code]

La figure ci-contre montre que :

  • En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
  • En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.

Pavages[modifier | modifier le code]

Deux gnomons d'or et un triangle d'or pavant un pentagone régulier.
  • On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or[6] (voir figure ci-contre).
  • Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.


Spirale logarithmique[modifier | modifier le code]

Triangles d'or inscrits dans une spirale logarithmique.

Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or[7]. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).



Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a b et c (en) Kimberly Elam, Geometry of Design : Studies in Proportion and Composition, New York, Princeton Architectural Press, , 107 p. (ISBN 1-56898-249-6, lire en ligne)
  2. a et b Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le )
  4. (en) « Tilings Encyclopedia »
  5. (en) Arthur Livio, Concepts and Images : Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, (ISBN 0-8176-3620-X)
  6. (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le )
  7. (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion : A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, , 186 p. (ISBN 0-486-22254-3, lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Crédits de traduction[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]