Cercle circonscrit à un triangle

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Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

En géométrie du triangle, le cercle circonscrit à un triangle non plat est l'unique cercle passant par ses trois sommets.

Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O équidistant des trois sommets (qui est aussi le centre du cercle circonscrit, voir ci-dessous).
  • Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre O est appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle circonscrit défini par le théorème de l'angle inscrit.
  • D'après le théorème de l'angle inscrit, le cercle circonscrit au triangle (ABC) est le lieu des points M vérifiant :
    désigne l'angle orienté des droites D et D'. On peut permuter les lettres A,B,C dans la relation (1) , ou l'écrire sous la forme :
  • Il existe une infinité de triangles dont la base est connue et d'angle au sommet opposé connu, et le lieu de ces sommets forme un cercle.

Centre, rayon et équation cartésienne[modifier | modifier le code]

Centre[modifier | modifier le code]

On note O le centre du cercle circonscrit, a = BC, b = CA, c = AB les longueur des trois côtés du triangle et les angles opposés respectivement à chacun de ces trois côtés.

Dans le repère barycentrique , les coordonnées barycentriques du centre O sont , ou , ou encore[1] .

Ses coordonnées trilinéaires sont .

Ses coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé sont, avec , , et  :

.

On le démontre en identifiant les coefficients dans les deux équations cartésiennes équivalentes ci-dessous.

Rayon[modifier | modifier le code]

Son rayon R peut s'exprimer grâce à la loi des sinus :

S désigne l'aire du triangle.

On en déduit les expressions symétriques : p = a + b + c/2 est le demi-périmètre du triangle et .

Compte tenu de la formule de Héron, on a : .

La relation d'Euler donne la distance d du centre du cercle circonscrit au centre du cercle inscrit, soit d2 = R2 – 2Rr (où r est le rayon du cercle inscrit)[2].

Équation cartésienne[modifier | modifier le code]

Dans le plan euclidien, il est possible de donner l'équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle.

Le cercle circonscrit est l'ensemble des points tels que avec et comme ci-dessus, soit

.

Mais on peut aussi écrire directement cette équation cartésienne (sans calculer au préalable , et ).

Première écriture, par un déterminant[modifier | modifier le code]

L'équation cartésienne du cercle circonscrit s'écrit :

.

Deuxième écriture, complexe[modifier | modifier le code]

Si sont les affixes respectives de , l'équation cartésienne du cercle circonscrit s’obtient en écrivant la nullité de la partie imaginaire de

Points remarquables appartenant au cercle circonscrit à un triangle[modifier | modifier le code]

Appartiennent au cercle circonscrit au triangle :

  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés ;
  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés ;

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]