Cercle circonscrit à un triangle

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Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

En géométrie du triangle, le cercle circonscrit à un triangle (non plat) est l'unique cercle passant par ses trois sommets.

Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle. Son rayon peut s'exprimer avec la loi des sinus.

a, b et c désignent les longueurs des trois côtés du triangle ; , et désignent respectivement les angles opposés à chacun des côtés a, b et c, et S désigne l'aire du triangle.

La relation d'Euler donne la distance d du centre du cercle circonscrit au centre du cercle inscrit, soit d2 = R2 – 2 R r (avec r rayon du cercle inscrit)[1].

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point Ω équidistant des trois sommets (qui est aussi le centre du cercle circonscrit, voir ci-dessous).
  • Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre Ω est appelé cercle circonscrit au triangle.

Points remarquables appartenant au cercle circonscrit à un triangle[modifier | modifier le code]

Appartiennent au cercle circonscrit au triangle :

  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés ;
  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés ;

Référence[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]