Cercle circonscrit à un triangle

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Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

En géométrie du triangle, le cercle circonscrit à un triangle est l'unique cercle passant par ses trois sommets.

Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle. Son rayon R peut s'exprimer avec la loi des sinus.

\frac{a}{\sin\hat A}=\frac{b}{\sin\hat B}=\frac{c}{\sin\hat C}=\frac{abc}{2S}=2R

a, b et c désignent les longueurs des trois côtés du triangle ; \hat{A}, \hat{B} et \hat{C} désignent respectivement les angles opposés à chacun des côtés a, b et c ; et S désigne l'aire du triangle.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point \Omega équidistant des trois sommets (qui est aussi le centre du cercle circonscrit, voir ci-dessous).
  • Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre \Omega est appelé cercle circonscrit au triangle.

Points remarquables appartenant au cercle circonscrit à un triangle[modifier | modifier le code]

Appartiennent au cercle circonscrit au triangle :

  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés.
  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]