Droite d'Euler

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Droite d'Euler en rouge, médianes en orange, médiatrices en vert, et hauteurs en bleu.

En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est une droite passant par plusieurs points remarquables du triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit.

Cette notion s'étend au quadrilatère et au tétraèdre.

Présentation[modifier | modifier le code]

Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral (ABC), l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés, et détermine les relations de proportionnalité entre les distances : HO = 3/2HG et GO = 1/2HG[1]. La droite (HGO) passe également par le centre Ω du cercle des neuf points, milieu du segment [OH], ainsi que par d'autres points remarquables du triangle[2]. Les quatre points H,G,O,Ω sont confondus pour un triangle équilatéral (et sinon, ils sont tous distincts).

Parmi les autres points remarquables, on peut citer le point de Longchamps, le point de Schiffler, le point d'Exeter et le perspecteur de Gossard.

En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit dans le triangle, sauf si celui-ci est isocèle. Dans ce cas, la droite d'Euler est l'axe de symétrie du triangle.

Détermination[modifier | modifier le code]

Cercle et droite d'Euler.

Relation vectorielle d'Euler[modifier | modifier le code]

La relation vectorielle d'Euler : exprime à la fois l'alignement de et leur disposition mutuelle.

Représentations[modifier | modifier le code]

Équation[modifier | modifier le code]

On note les angles aux sommets du triangle de référence, et on considère un point M de coordonnées trilinéaires (x : y : z). L'équation de la droite d'Euler s'écrit alors

En coordonnées barycentriques , l'équation s'écrit [3]

Représentation paramétrique[modifier | modifier le code]

On sait que le centre du cercle circonscrit a pour coordonnées trilinéaires (cos A : cos B : cos C) et que celles de l'orthocentre sont ( cos B cos C : cos C cos A : cos A cos B). Ainsi, tout point de la droite d'Euler différent de l'orthocentre a pour coordonnées trilinéaires :

avec t réel.

Ainsi, on obtient :

  • le centre du cercle circonscrit pour t = 0,
  • le centre de gravité, de coordonnées (cos A + cos B cos C : cos B + cos C cos A : cos C + cos A cos B), pour t = 1,
  • le centre du cercle d'Euler, de coordonnées (cos A + 2cos B cos C : cos B + 2cos C cos A : cos C + 2cos A cos B), pour t = 2,
  • le point de Longchamps, de coordonnées (cos A – cos B cos C : cos B – cos C cos A : cos C – cos A cos B), pour t = –1.

Longueurs des segments[modifier | modifier le code]

Les longueurs des différents segments s'expriment en fonction des trois côtés du triangle et du rayon du cercle circonscrit : et donc, d'après la relation d'Euler ci-dessus,

et est le rayon du cercle circonscrit à [4],[5].

Comme de plus, , s'expriment comme fonctions symétriques des longueurs a, b et c.

Extension au tétraèdre[modifier | modifier le code]

Le tétraèdre possède aussi une droite remarquable, désignée par analogie "droite d'Euler". Elle est définie pour un tétraèdre non régulier par les trois points suivants :

- le centre de gravité, point d'intersection des quatre droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée, ainsi que des trois droites joignant les milieux de deux arêtes opposées

- le point de Monge, intersection des six plans orthogonaux à une arête et passant par le milieu de l'arête opposée [6]

- le centre de la sphère circonscrite.

Le centre de gravité est le milieu du segment joignant le point de Monge au centre de la sphère circonscrite.

Il existe aussi une sphère des douze points dont le centre se trouve sur la droite d'Euler.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (la) Leonhard Euler, Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (lire en ligne) sur le site de Euler Archive, rem page 114.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Euler Line », sur MathWorld
  3. Scott, J.A., "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472-477.
  4. La preuve donnée ici est inspirée de celle donnée par Alexander Bogomolny sur la page Sum of Squares of Distances to Vertices de Cut The Knot.
  5. Une autre preuve, faisant appel aux nombres complexes, est proposée par Bogomolny sur la page Distance between the Orthocenter and Circumcenter
  6. Point de Monge d'un tétraèdre.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]