Théorème de Pythagore

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Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.
Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse, qui est le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il doit son nom à Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique du VIe siècle av. J.-C.. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et la plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est due à Euclide, vers -300. Même si les mathématiciens grecs en connaissaient sûrement une auparavant, rien ne permet de l'attribuer de façon certaine à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.

Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.

Plus généralement, ce théorème a de nombreuses applications dans divers domaines très différents (architecture, ingénierie...), encore aujourd'hui, et a permis nombres d'avancées technologiques à travers l'Histoire.

Vocabulaire et énoncés[modifier | modifier le code]

Un triangle rectangle est un triangle admettant un angle droit (c’est-à-dire de mesure 90°, ou encore radian).

Les deux côtés adjacents à cet angle sont appelés cathètes et le côté opposé est l’hypoténuse.

Théorème[modifier | modifier le code]

Triangle rectangle muni de carrés formés sur chacun de ses côtés.
Une version géométrique du théorème : l’aire du grand carré bleu ciel est la somme des aires des deux autres carrés.

La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :

Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

En particulier, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.

Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’aires entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.

En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante :

Théorème de Pythagore — Si un triangle est rectangle en , alors .

Avec les notations usuelles , et (cf. figure ci-dessous), la formule s’écrit encore : .

Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB=c, AC=b et BC=a.

Par contraposée :

Théorème — Si n’est pas égal à alors le triangle n’est pas rectangle en .

Réciproque[modifier | modifier le code]

L’implication réciproque est également vraie :

Réciproque du théorème de Pythagore — Si alors le triangle est rectangle en .

Pour une formulation sans notations des sommets, le terme « hypoténuse » n'est utilisable qu'une fois acquis que le triangle est rectangle :

Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté.

Par contraposée de la réciproque :

Théorème — Si un triangle n’est pas rectangle en , alors n’est pas égal à .

La réciproque se déduit du théorème lui-même et d'un cas d'« égalité » des triangles : si on construit un triangle rectangle en C de sommets A, C et B', avec CB' = CB, on a AB = AB' par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle initial (les 3 côtés sont 2 à 2 de même longueur). L'angle en C du triangle initial ABC, identique à celui du triangle AB'C, est donc droit.

Équivalence[modifier | modifier le code]

Comme la réciproque est vraie, on dit que l'on a une équivalence : la propriété sur les carrés des longueurs des côtés du triangle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit dit rectangle. Autrement dit : si cette propriété n'est pas vérifiée, le triangle ne peut être rectangle (condition nécessaire). En revanche, si elle est vérifiée, alors le triangle est forcément rectangle (condition suffisante). On exprime cette équivalence par l'expression « si et seulement si » :

Théorème — Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur de son hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés .

En notation mathématique, cette équivalence est représentée par une double flèche :

Théorème —  est rectangle en .

Triplets pythagoriciens[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Triplet pythagoricien.

Quand trois nombres entiers vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 32 + 42 = 52. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont multiples de (3, 4, 5) est rectangle.

Applications[modifier | modifier le code]

Arpentage[modifier | modifier le code]

Triangle de dimensions 3-4-5 avec les côtés gradués par des points symbolisant les nœuds d’une corde.
Corde à treize nœuds (le dernier superposé au premier) disposée en triangle rectangle.

Vérification de la relation pour un triangle de longueurs de côté 3, 4 et 5.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une unité quelconque) alors il est rectangle.

Ce cas particulier de triplet pythagoricien justifie l’usage de la corde à treize nœuds, qui permettait de mesurer des distances mais aussi d’obtenir un angle droit sans équerre rigide en répartissant les douze intervalles qui séparent les nœuds sur les trois côtés d’un triangle de dimensions 3 - 4 - 5.

Nature d'un triangle[modifier | modifier le code]

Le théorème (ou plutôt sa contraposée) et sa réciproque montrent que la relation donnée entre les longueurs des côtés est une propriété caractéristique des triangles rectangles, ce qui permet de l’utiliser comme test dans la détermination de la nature d’un triangle :

  • si alors le triangle est rectangle en  ;
  • si n’est pas égal à alors le triangle n’est pas rectangle en .

En effectuant le test pour le sommet opposé au plus grand côté du triangle (seul sommet susceptible d'abriter l'angle droit), on peut déterminer si le triangle est rectangle ou non à partir des longueurs de ses côtés.

Distance euclidienne[modifier | modifier le code]

L'égalité cos2 α + sin2 α = 1 comme cas particulier du théorème de Pythagore.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à l’aide du théorème de Pythagore par :

Cette formule est analogue à celle qui donne la norme d’un vecteur de coordonnées dans une base orthonormée :

Ces formules se généralisent en dimension plus grande.

Relation trigonométrique[modifier | modifier le code]

En considérant le cosinus et le sinus d’un angle α comme l'abscisse et l'ordonnée d’un point du cercle trigonométrique repéré par cet angle, et le rayon du cercle trigonométrique de longueur = 1 comme l'hypoténuse, le théorème de Pythagore permet d’écrire la relation suivante :

Histoire[modifier | modifier le code]

Tablette munies d’inscriptions cunéiformes disposées en lignes.
La tablette Plimpton 322, datant d'environ 1800 av. J.-C., donne une liste de nombres disposés en colonnes avec des entêtes; deux des colonnes correspondent à l'hypoténuse et au plus petit côté d'un triangle rectangle, ainsi que l'annoncent les entêtes[1].

Pythagore vivait au VIe siècle av. J.-C., mais l'histoire du théorème de Pythagore commence plus d'un millénaire auparavant, comme en témoignent plusieurs tablettes d'argile de l'époque paléo-babylonienne[2]. Il n'y a aucune preuve archéologique qui permette de remonter plus avant, même si quelques hypothèses existent.

Ainsi les travaux d'Alexander Thom, qui imagine une organisation de sites mégalithiques datant du XXVe siècle av. J.-C. en Grande-Bretagne et en France utilisant triangles rectangles et triplets pythagoriciens, sont fortement contestés[3]. L'hypothèse parfois avancée que le théorème aurait été connu de l'Égypte ancienne dès le Moyen Empire paraît elle aussi difficile à établir[4].

Mésopotamie[modifier | modifier le code]

Illustration d'un problème posé (sans cette illustration) à l'époque paléo-babylonienne sur la tablette d'argile BM 85196 (entre -2000 et -1600), et que l'on peut formuler ainsi : une perche de longueur 30 unités est posée verticalement contre un mur, l'extrémité haute glisse verticalement vers le bas de 6 unités, de combien l'extrémité basse glisse-t-elle horizontalement ? La « règle de Pythagore » donne la solution à savoir 302 -(30-6)2 = 18 unités[5]. On retrouve plus tard ce problème de la perche ou du roseau posé contre un mur sur les papyrus égyptiens de l'époque ptolémaïque, les tablettes séleucides[6]. Il devient un classique des mathématiques arabes[7], et on le pose encore de nos jours[6].

Les historiens des mathématiques et assyriologues[8] ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en Mésopotamie (l'ancien Irak), à l'époque paléo-babylonienne une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste[9].

Plusieurs des tablettes d'argile qui ont été retrouvées et analysées montrent que la relation entre les longueurs des côtés du rectangle et celle de sa diagonale (soit entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle) était connue[10] et utilisée pour résoudre des problèmes calculatoires[11]. La tablette Plimpton 322 datant de vers -1800 donne une liste de nombres associés à des triplets pythagoriciens, soit des entiers (a, b, c) satisfaisant la relation a2 + b2 = c2. La tablette ne donne que deux nombres du triplet, mais les associe explicitement au plus petit côté et à la diagonale d'un rectangle[1].

Il n'y a pas trace de l'énoncé d'un théorème, et les historiens préfèrent souvent utiliser un autre mot, certains parlent par exemple de « règle de Pythagore »[12]. Ni celle-ci ni le principe qui la sous-tend ne sont explicitement énoncés non plus, mais les exemples montrent bien qu'une règle générale est connue[13].

La datation et l'origine exacte des tablettes d'argile n'est pas toujours évidente, beaucoup de celles-ci ont été achetées sur le marché des antiquités comme la tablette Plimpton 322, mais les historiens peuvent s'appuyer sur des éléments linguistiques, et les similarités avec celles dont l'origine est connue, ayant été obtenues par des fouilles archéologiques régulières. Les traces que l'on a des cultures antérieures rendent peu vraisemblable la découverte de la « règle de Pythagore », avant -2300, celle-ci pourrait apparaître entre -2025 et -1825[14].

Inde[modifier | modifier le code]

En Inde, un énoncé du théorème, sous sa forme la plus générale, apparait dans l'Apastamba (en), l'un des Śulba-Sūtras, ces traités du cordeau qui codifient les règles des constructions destinées aux rituels védiques. Ceux-ci ont été rédigés entre le VIIIe et le IVe siècle avant notre ère (par ailleurs certains triplets pythagoriciens sont mentionnés dans des textes bien antérieurs). Les Sulbasutras parlent du rectangle et de sa diagonale, plutôt que de triangle[15].

Chine[modifier | modifier le code]

Le théorème apparait également en Chine dans le Zhoubi suanjing (en) (« Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou »), un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois[16]. Ce dernier, écrit probablement durant la dynastie Han (-206 à 220), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle av. J.-C. à -256). Le théorème ou procédure s’énonce de la manière suivante :

« En réunissant l’aire (mi) de la base (gou) et l’aire de la hauteur (gu) on engendre l’aire de l’hypoténuse. »

Mais la question se pose de savoir si ce théorème – ou cette procédure – était muni ou non d’une démonstration. Sur ce point les avis sont partagés[17]. Le théorème, sous le nom de Gougu (à partir des mots « base » et « altitude »), est repris dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique, -100 à 50), avec une démonstration, utilisant un découpage et une reconstitution, qui ne ressemble pas à celle d’Euclide et qui illustre l'originalité du système démonstratif chinois[18].

Égypte ancienne[modifier | modifier le code]

Aucun texte connu de l'Égypte antique ne permet d'attribuer aux égyptiens une connaissance en rapport avec le théorème de Pythagore, avant un document écrit sur papyrus en démotique, généralement daté de vers -300 qui mentionne trois triplets pythagoriciens[19]. Ceci peut tenir à la fragilité du support employé : peu de textes mathématiques de l'Égypte antique nous sont parvenus. Mais le plus notable d'entre eux, le papyrus Rhind, une copie effectuée vers -1650 d'un document datant de -1800, apparait comme une somme des connaissances mathématiques de l'époque. Or ni triplets pythagoriciens, ni rien en rapport avec le théorème, n'y apparaissent, ce qui laisse penser qu'il est ignoré à ces dates[20].

Il n'est cependant pas impossible que le triangle rectangle 3-4-5, celui dont les côtés correspondent au triplet pythagoricien le plus simple, soit connu en Égypte dès une époque assez ancienne. Plutarque décrit (à la fin du Ier siècle de notre ère) une interprétation symbolique religieuse du triangle[21]. Mais à l'époque de Plutarque le syncrétisme religieux a cours dans l'Égypte sous domination romaine, après avoir été gouvernée par les Ptolémées, et il est délicat de déterminer l'origine de cette interprétation, encore plus de la dater[22].

L'hypothèse de l'utilisation en architecture du triangle 3-4-5 obtenu en utilisant des cordes, éventuellement pourvues de nœuds espacés régulièrement, et tendues en particulier pour tracer des angles droits, est pour le moins discutée[23],[24]. Les faces de la pyramide de Khephren ont une pente de 4/3, mais il existe des explications simples pour leur construction, qui ne supposent pas la connaissance du triangle correspondant[25]. Pour les tracés horizontaux, au vu de ce que l'on sait des cordes disponibles à l'époque et de leur élasticité, la précision de la méthode ne parait pas compatible avec celle des constructions de grande dimension de l'Égypte antique[26], mais pourrait fonctionner pour des salles ou des édifices de plus petite dimension[27]. Ainsi le tracé d'une voûte elliptique datant de la XXe dynastie découvert par Georges Daressy correspond à une ellipse dont le foyer, le centre et une intersection avec le petit axe, forment un triangle 3-4-5. Par ailleurs une ellipse peut, elle-même, se tracer facilement à l'aide d'une corde tendue[28].

Il reste que la connaissance de ce que le triangle 3-4-5 est droit, même si elle n'a rien d'invraisemblable, n'attesterait de toute façon nullement que les carrés des côtés aient été comparés, encore moins de la connaissance du théorème de Pythagore[29].

Les Grecs : de Pythagore à Euclide[modifier | modifier le code]

Le théorème et sa conclusion, accompagnés de démonstrations, concluent le livre I des Éléments d'Euclide, rédigés probablement au début du IIIe siècle av. J.-C.[30]. Le théorème lui-même est donné à la proposition XLVII sous la forme suivante[31] :

« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l’angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »

Sa réciproque est la proposition XLVIII[31] :

« Si le carré de l’un des côtés d’un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l’angle soutenu par ces côtés est droit. »

Buste de Pythagore
Pythagore, copie ancienne d'un original du milieu du Ve siècle av. J.-C. (Musées du Capitole)

Proclus dans ses commentaires (autour de l’an 400) relate, avec scepticisme, que certains attribuent à Pythagore la découverte du théorème, et attribue à Euclide la démonstration qu'il donne dans ses Éléments[32]. Les témoignages connus au sujet des contributions mathématiques de Pythagore sont tardifs : au plus tôt du Ier siècle av. J.-C., alors que Pythagore aurait vécu au VIe siècle avant notre ère. Un distique attribué à Apollodore de Cyzique (IVe siècle av. J.-C.) et cité par Plutarque (Ier siècle de notre ère) pourrait faire exception s'il s'agit bien du théorème[33], mais Plutarque lui-même en doute[34]. L'identité exacte de l'auteur du distique, et donc la date de sa composition, n'ont d'ailleurs elles-mêmes rien d'évident[33]. Il n'y a cependant aucun doute que le théorème était connu des grecs bien avant Euclide, par exemple Hippocrate de Chio (Ve siècle av. J.-C.), l'auteur du théorème des deux lunules, ne pouvait l'ignorer. Aussi certains historiens ont tenté de reconstituer leurs démonstrations, celle d'Euclide ayant pu être contrainte par la structure de son traité axiomatique. Ainsi n'a-t-il pas encore abordé les proportions quand il démontre le théorème de l'hypoténuse au livre I, ce qui lui interdit une démonstration analogue à celle par les triangles semblables[35].

Incommensurabilité[modifier | modifier le code]

Le théorème de Pythagore joue un rôle dans la découverte par les mathématiciens grecs, probablement au Ve siècle av. J.-C., de grandeurs incommensurables (qui ne peuvent pas être mesurées avec une même unité), prémisse des nombres irrationnels, en particulier à travers le cas particulier du triangle rectangle isocèle, pour lequel on dispose d'une démonstration particulièrement simple par duplication du carré[36] : un carré dont le côté sert d’unité a une diagonale dont le carré de la longueur vaut 2.

L'incommensurabilité a pu être mise en évidence géométriquement, sans qu'il soit question de racine carrée donc sans recourir au théorème de Pythagore[37], mais le théorème de Pythagore autorise une preuve arithmétique, dans le cas de la diagonale du carré en montrant qu'aucune fraction d’entiers n’a de carré égal à 2, soit l'irrationalité de √2[37].

Une thèse très répandue chez les historiens jusqu'au milieu du XXe siècle, mais discutée ensuite, est que l'incommensurabilité joue un rôle important dans le développement des mathématiques grecques pré-euclidiennes[38].

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Plusieurs centaines de démonstrations différentes[39] ont été répertoriées pour le théorème de Pythagore. La plupart sont construites sur des égalités d’aire obtenues par découpage et recollement, voire en utilisant des rapports d’aire de triangles semblables. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique.

Selon Euclide[modifier | modifier le code]

Figure dite du moulin à vent, avec un triangle ABC sur les côtés duquel sont formés trois carrés BCED, ABFG et ACIH. La hauteur de ABC issue de A coupe [BC] en J et [DE] en K.
Figure pour la démonstration d’Euclide, dite parfois « du moulin à vent ».
Présentation animée de la démonstration d’Euclide

La démonstration présentée par Euclide dans les Éléments s’appuie sur les précédentes propositions, en particulier la proposition IV — en termes modernes deux triangles ayant un angle de même mesure entre deux côtés de mêmes longueurs sont isométriques, et la proposition XLI du livre Ier (voir aire d'un triangle) :

« Si un parallélogramme et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera [d’aire] double du triangle. »

Sur les côtés d’un triangle ABC rectangle en A, sont construits extérieurement des carrés BCED, ABFG et ACIH. La hauteur de ABC issue de A coupe le côté opposé [BC] en J et le segment [DE] en K.

Il s’agit de démontrer que l’aire du carré BCED est égale à la somme des aires des carrés ABFG et ACIH.

Les triangles BCF et ABD ont même angle en B (c’est-à-dire l’angle du triangle ABC augmenté d’un angle droit) et par construction, BF = AB et BC = BD. Donc les triangles BCF et ABD ont même aire. Or d’après la proposition XLI, l’aire du triangle BCF vaut la moitié de celle du carré ABFG et l’aire du triangle ABD vaut la moitié de celle du rectangle BDKJ. Donc le carré ABFG et le rectangle BDKJ ont même aire.

De même, les triangles BCI et ACE ont même angle en C avec les égalités AC = CI et BC = CE donc ils ont même aire, donc d’après la proposition XLI, le carré ACIH a même aire que le rectangle CEKJ.

Finalement, le carré BCED se décompose en deux rectangles BDKJ et CEKJ, dont les aires sont celles de ABFG et ACIH respectivement, ce qui termine la démonstration.

Pappus d'Alexandrie donne une démonstration de son théorème sur les aires, pour un triangle quelconque sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes, qui fournit en la particularisant au triangle rectangle sur les côtés duquel sont construits des carrés, une démonstration du théorème de Pythagore, alternative à celle d'Euclide[40].

Les deux sections suivantes présentent des méthodes de découpage et réorganisation des morceaux, qui rentrent souvent dans la catégorie des preuves sans mots.

Par le puzzle de Gougu[modifier | modifier le code]

Animation du puzzle de Gougu

Le théorème de Gougu[41],[42] de gou (base) et gu (hauteur)[43] est reconstitué d’après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui (IIIe siècle apr. J.-C.) sur le Jiuzhang suanzhu 九章算術 « Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique » (206 av.220 apr. J.-C.), et le Zhoubi suanjing 周髀算經, « Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou » (un livre d’astronomie). Le neuvième chapitre du livre Les neuf chapitres, classique mathématique de la Chine ancienne, s’ouvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : « la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle-même un carré bleu-vert et l’on fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense l’un l’autre (...) alors (...) on engendre par réunion l’aire du carré de l’hypoténuse ». Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe.

L’absence d’illustration associée à ce commentaire réduit les historiens à émettre des conjectures pour sa reconstitution. Le dessin ci-contre est proposé par Jean-Claude Martzloff[44] d’après une édition de 1892 des Neuf chapitres. Le triangle rectangle y est tracé en gras, le carré de la hauteur a été tracé à l’extérieur du triangle, le carré de la base et celui de l’hypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de l’angle droit qui dépassent du carré de l’hypoténuse ont été découpées et replacées à l’intérieur de ce carré. Le triangle rouge est égal au triangle de départ. Le triangle jaune a pour grand côté de l’angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu a pour grand côté de l’angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.

Karine Chemla[45] appuie plutôt son raisonnement sur une figure fondamentale associée au texte du Zhoubi suanjing et formée d’un triangle 3 - 4 - 5 dans laquelle on peut lire de nombreuses relations liant les trois côtés du triangle rectangle. Elle interprète le commentaire de Liu Hui comme une nouvelle lecture de la figure fondamentale avec déplacement des 3 pièces 1 - 2 - 3 de l’extérieur du carré dans le carré de l’hypoténuse.

Figure de l’hypoténuse de laquelle on peut déduire[Note 1]
c² = 4 (ab)/2 + (b - a)²
ou bien aussi
(a + b)² - 4(ab)/2 = c²
Les pièces forment deux carrés dont les dimensions sont celles des côtés du triangle rectangle.
Les pièces à l’extérieur du carré de l’hypoténuse sont venues se placer à l’intérieur.

Quant à Li Jimin[46], il attribue au Zhoubi Suanjian la paternité de la première démonstration, il s’appuie lui aussi sur la figure fondamentale et fait pivoter les triangles (1-2) et 3 sur leur pointe pour les installer dans le carré de l’hypoténuse. Un tel découpage, avec pivotement des deux triangles, apparait également en Europe au XIXe siècle chez George Biddell Airy et Philip Kelland[47].

Par soustraction d'aire[modifier | modifier le code]

Carré de côté c inscrit dans un carré de côté a+b, tel que les quatre triangles constituant le complémentaire ont pour longueurs de côté a, b et c.

Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des cathètes. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle.

Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc et l’aire du carré intérieur vaut . La différence est constituée par quatre triangles d’aire chacun.

La relation algébrique entre ces aires s’écrit alors , c’est-à-dire , ce qui revient à .

Juxtaposition de deux figures représentant un même carré dans lequel s’inscrivent quatre copies d’un même triangle rectangle, agencées à gauche pour laisser deux carrés formés sur leurs cathètes, et à droite pour laisser un carré formé sur leurs hypoténuses.
Démonstration du théorème par soustraction d’aires égales d’un même carré.

Avec une deuxième figure inscrite dans le même grand carré, les deux carrés formés sur les côtés du triangle rectangle s’obtiennent eux aussi par soustraction de quatre copies du triangle initial.

Animation prouvant par réarrangement de quatre triangles rectangles identiques
Animation montrant une autre preuve par réarrangement

Par des triangles semblables[modifier | modifier le code]

Triangle rectangle avec pied de la hauteur

Il n’y a pas trace de la démonstration qu’aurait conçue Pythagore et les historiens envisagent deux types de démonstrations : ou bien une démonstration fondée sur un découpage comme celui de Gougu ou une démonstration utilisant les proportionnalités des triangles découpés par la hauteur issue de l’angle droit[7].

Soit H le pied de la hauteur issue de C, celle-ci découpe le triangle ACB en deux triangles rectangles HAC et HCB semblables au triangle initial, par égalités des angles, puisqu'ils partagent à chaque fois un des angles non droits. Les aires de ces trois triangles semblables, portées par les trois côtés AC, CB et AB sont donc proportionnelles aux carrés de ces côtés. L'égalité des aires :

Aire(HAC) + Aire (HCB) = Aire(ACB)

donne donc le théorème de Pythagore, en simplifiant par le coefficient de proportionnalité :

. CQFD

On peut également proposer une variante un peu plus calculatoire de cette démonstration sans passer par les aires : le rapport de similitude entre les triangles HAC et CAB implique soit . De même, le rapport de similitude entre les triangles HCB et CAB implique soit en additionnant, il vient . CQFD

Cette démonstration est à rapprocher de celle du théorème de Ptolémée en prenant un rectangle comme quadrilatère.

Par le produit scalaire[modifier | modifier le code]

Cette preuve s'inscrit dans un contexte tout à fait différent. Dans un espace vectoriel euclidien, les définitions mêmes de la norme, du produit scalaire et de l'orthogonalité sont déjà d'une certaine façon associées à une forme du théorème de Pythagore (voir ci-dessus).

Par bilinéarité du produit scalaire, pour deux vecteurs quelconques et  :

soit :

ce qui, en définissant l'orthogonalité de deux vecteurs par la nullité de leur produit scalaire, fournit une version vectorielle du théorème de Pythagore (et de sa réciproque).

Dans un espace affine euclidien la longueur AB d'un segment [AB] est la norme du vecteur . Les vecteurs portés par les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation de Chasles :

et le résultat précédent donne :

autrement dit le théorème de Pythagore et sa réciproque, quand l'orthogonalité est définie par la nullité du produit scalaire.

De nombreuses autres démonstrations ont été recensées[39], utilisant des outils mathématiques variés. Léonard de Vinci[48] et même le président américain James Garfield[49] en ont proposé. On peut également citer des preuves non mathématiques, par exemple il en existe une démonstration mécanique utilisant un équilibre de forces[50].

Généralisations[modifier | modifier le code]

Pour un triangle quelconque[modifier | modifier le code]

Triangle ABC avec les notations AB=c, AC=b, BC=a, d’angle α en A, β en B et γ en C
Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Article détaillé : loi des cosinus.

La loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi donne une formule faisant intervenir les longueurs des côtés et le cosinus de l'un des angles d'un triangle quelconque. L’angle de mesure γ, le côté opposé de longueur c et les deux autres côtés de longueurs respectives a et b sont reliés par la relation :

.

Si l’angle γ est droit, son cosinus est nul et la formule se réduit à la relation du théorème de Pythagore. S'il n'est pas droit le cosinus de l'angle γ est non nul ce qui donne la réciproque. Cette généralisation permet de traiter des problèmes de calcul d’angles et de distances dans un triangle quelconque.

Triangle rectangle avec les lunules formées sur les cathètes.
Propriété des lunules

Avec d'autres figures formées sur les côtés[modifier | modifier le code]

Euclide mentionne dans les Éléments[31] (proposition 31 du livre VI) :

« Dans les triangles rectangles, la figure construite sur l’hypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables et semblablement construites sur les côtés qui comprennent l’angle droit. »

En appliquant cette généralisation à des demi-disques formés sur chaque côté d’un triangle rectangle, il en découle le théorème des deux lunules, selon lequel l’aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l’angle droit.

Le théorème de « Clairaut », dû à Pappus.

À un triangle quelconque et à des parallélogrammes[modifier | modifier le code]

Pappus d'Alexandrie, à la proposition 1 du livre IV de sa Collection Mathématique[51], donne une autre généralisation — nommée souvent en France théorème de Clairaut — valable sur un triangle quelconque, sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes : sur le dessin ci-contre, la somme des aires des deux parallélogrammes en gris foncé égale celle du parallélogramme en gris clair. Pappus prenait le parallélogramme BUVC, plutôt que LBCM dont il est le translaté.

En plus grande dimension[modifier | modifier le code]

L’hypoténuse d’un triangle rectangle pouvant se concevoir comme la diagonale d’un rectangle, une généralisation du théorème en dimension supérieure peut s’énoncer comme suit :

Dans un pavé droit, le carré de la grande diagonale est égal à la somme des carrés des dimensions du pavé.

Ce résultat est équivalent au calcul de la longueur d’un segment à partir des coordonnées cartésiennes de ses extrémités dans un repère orthonormé :

ou, en dimension supérieure, si est de coordonnées et de coordonnées  :

.

Cette dernière formule est encore valable dans un espace de Hilbert de dimension infinie et aboutit notamment à la formule de Parseval.

Le théorème de Gua donne une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace euclidien : si un tétraèdre a toutes ses arêtes orthogonales en un sommet alors le carré de l’aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

En arithmétique : le théorème de Fermat-Wiles[modifier | modifier le code]

Portrait de Pierre de Fermat, peint au XVIIe siècle.
Pierre de Fermat, inspiré par le problème des triplets pythagoriciens.

La recherche exhaustive des triplets pythagoriciens est un problème arithmétique à part entière. Elle a pu être motivée par la construction de triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont commensurables. Elle ouvre la porte à la recherche de triplets satisfaisant une équation plus générale : an + bn = cn, où l’exposant n est un entier supérieur à 2. L’absence de solution lorsque l’exposant est supérieur ou égal à 3 est la conjecture de Fermat, qui n’a été définitivement démontrée que plus de trois siècles plus tard par Andrew Wiles.

En géométrie non euclidienne[modifier | modifier le code]

Le théorème de Pythagore est équivalent, modulo les autres axiomes de la géométrie, à l'axiome des parallèles[52] , qui peut être rédigé ainsi :

Axiome des parallèles — Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Cela signifie que, dans les axiomes de la géométrie euclidienne, on peut remplacer l'« axiome » des parallèles par le « théorème » de Pythagore sans que les autres résultats de la géométrie soient modifiés. Les statuts d'axiome et de théorème de ces deux résultats sont alors inversés : le « théorème » de Pythagore devient un axiome (une vérité de base, indémontrable, sur laquelle s'appuie la théorie) et l'« axiome » des parallèles devient un théorème, qui peut être démontré à l'aide de Pythagore.

Dans d'autres géométries, l'axiome des parallèles est remplacé par un autre qui le contredit, et le théorème de Pythagore n'est donc plus vrai.

Triangle formé par trois grands cercles à la surface d’une sphère, se coupant deux à deux à angle droit.
Triangle trirectangle à la surface d’une sphère, pour lequel la relation du théorème de Pythagore ne s’applique pas.

En trigonométrie sphérique, si un triangle est formé par trois arcs de grands cercles à la surface d’une sphère de rayon et si deux de ces arcs se croisent à angle droit, la relation du théorème de Pythagore n’est plus valable, comme dans le cas du triangle équilatéral trirectangle. Elle doit être remplacée par la formule[53] :

est la longueur de l’arc opposé à l’angle droit.

Une relation similaire existe en géométrie hyperbolique[54] pour une courbure constante égale à −1 :

cosh désigne la fonction cosinus hyperbolique.

Dans les deux cas, un développement limité à l’ordre 2 redonne, pour des triangles de faible dimension, la relation du théorème de Pythagore en géométrie plane.

Plus généralement, la propriété résiste mal au transfert dans d’autres géométries à cause de leur courbure :

  • si la courbure est positive :  ;
  • si la courbure est négative :  ;
  • si la courbure est nulle : .

Dans le cadre de la relativité générale, l’espace euclidien est remplacé par un espace courbe où les segments sont remplacés par des géodésiques. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l’énergie conduisent l’espace à être non-euclidien et le théorème ne s’applique donc pas strictement en présence d’énergie. Cependant, la déviation par rapport à l’espace euclidien est faible sauf auprès d’imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d’importantes échelles cosmologiques, c’est-à-dire mesurer la courbure de l’Univers, est un problème ouvert pour la cosmologie.

Calcul numérique[modifier | modifier le code]

En informatique, le calcul direct de la longueur de l'hypoténuse par le théorème de Pythagore, par élévation au carré puis racine carrée de la somme, peut conduire pour des valeurs extrêmes (très grandes ou très faibles en valeur absolue) à des erreurs de dépassement ou de soupassement : l'étape intermédiaire d'élévation au carré peut mener à des résultats non représentables, par exemple pour la norme très utilisée IEEE 754, et donc à un résultat final de 0 ou « infini », alors même que le résultat final est lui-même représentable. L'algorithme de Moler-Morrisson, dérivé de la méthode de Halley, est une méthode itérative efficace qui évite ce problème.[55].

Article détaillé : Somme pythagoricienne.

Culture[modifier | modifier le code]

Le théorème de Pythagore est mentionné dans La Planète des singes, de Pierre Boulle. Le narrateur, considéré comme un animal dépourvu d’intelligence, détrompe en effet son interlocuteur en traçant une figure géométrique qui illustre le théorème.

Le chansonnier Franc-Nohain a composé un quatrain qui cite le théorème[56] :

Le carré de l’hypoténuse
Est égal, si je ne m’abuse
À la somme des carrés
Construits sur les autres côtés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le commentaire du Zhoubi suanjing consiste à remarquer que le carré de l’hypoténuse est formé de 4 triangles vermillon d’aire ab/2 et d’un carré jaune central d’aire (b-a)²

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Pour une description de la tablette et diverses interprétations, voir Robson 2002.
  2. Høyrup 1998
  3. Voir Olivier Keller, Préhistoire de la géométrie : le problème des sources - pdf, Réunion, août 2001 ; voir également Maurice Caveing, Le Problème des Objets Dans la Pensée Mathématique - Problèmes et controverses, Vrin, 2004, p.56 qui critique l'utilisation des travaux de Thom par Bartel Leendert van der Waerden dans Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer Verlag, 1983.
  4. Le Papyrus Berlin 6619 qui peut dater du XIXe siècle av. J.-C. est parfois évoqué, mais cela est très contesté (Rossi 2007, p. 217). Il présente bien un problème du second degré dont la solution met en jeu implicitement le triplet (3, 4, 5), mais il n'est pas question de triangle rectangle. Voir également ci-dessous le paragraphe Égypte ancienne.
  5. Voir Høyrup 1998, p. 396, la solution est décrite de façon procédurale, voir (en) Duncan J. Melville, « Poles and walls in Mesopotamia and Egypt », Historia Mathematica, vol. 31,‎ , p. 148–162 (lire en ligne)
  6. a et b Melville 2004
  7. a et b Éliane Cousquer, Le Théorème de Pythagore[PDF]
  8. Autour de Otto Neugebauer en Allemagne, puis de François Thureau-Dangin en France, voir Jens Høyrup, Changing Trends in the Historiography of Mesopotamian Mathematics: An Insider's View. History of Science 34 (1996), 1–32, version revue en ligne
  9. Høyrup 1998, p. 393.
  10. E.M. Bruins, Aperçu sur les mathématiques babyloniennes, In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1950, Tome 3 n°4. p. 312 [1].
  11. Plusieurs sont décrits par Høyrup 1998.
  12. Robson 2002, Høyrup 1998.
  13. Høyrup 1998, p. 402
  14. Høyrup 1998, p. 406-407.
  15. Vitrac 1990, p. 315
  16. Martzloff 2006, p. 13.
  17. Chemla et Shuchun 2005, p. 681
  18. Jean-Claude Martzloff, « Quelques exemples de démonstration en mathématiques chinoises », dans La démonstration mathématique dans l’histoire, IREM de Lyon, , p. 131-132
  19. Rossi 2007, p. 64.
  20. Maor 2007, p. 14.
  21. Il s'agit du traité sur Isis et Osiris, dans les Œuvres morales, voir De Isis et Osiris, une traduction du texte de Plutarque.
  22. Rossi 2007, p. 64-65.
  23. Maor 2007, p. 14-15.
  24. L'usage de cordes pour l'arpentage est quant à lui bien attesté, il est représenté dans des tombes de la XVIIIe dynastie (Rossi 2007, p. 154), mais sans trace de nœuds (Rossi 2007, p. 155-156).
  25. Rossi 2007, p. 221.
  26. Rossi 2007, p. 155.
  27. De nombreuses tentatives de reconstitutions de plans d'édifices à partir de triangles (pas forcément rectangles) ont eu lieu depuis le XIXe siècle (Rossi 2007, p. 7-28). Parmi les plus récentes : Jean-Philippe Lauer utilise le triangle 3-4-5, compte-rendu critique et références (Rossi 2007, p. 158-161), Alexandre Badawy l'utilise accompagné d'autres triangles, compte-rendu critique et références (Rossi 2007, p. 32-56).
  28. Rossi 2007, p. 117 ; cet exemple est jugé le plus convaincant pour une relation entre l'utilisation de cordes et le triangle 3-4-5 par Rossi 2007, p. 159.
  29. Rossi 2007, p. 218.
  30. Caveing, Introduction générale, p. 15, in Vitrac 1990.
  31. a, b et c Éléments d'Euclide, traduction Henrion Référence, document en ligne sur le site de la BNF (Ressources Gallica) Livre I (cisaillement proposition XXXV p. 62, parallélogramme et triangle de même base proposition XLI p. 69, le théorème proposition XLVII p. 76, réciproque proposition XLVIII p. 78) et Livre VI (généralisation aux figures semblables proposition XXXI p. 241).
  32. Éliane Cousquer, Le Théorème de Pythagore[PDF] p. 10-11
  33. a et b Vitrac 1990, p. 311
  34. Vitrac 1990, p. 377
  35. Vitrac 1990, p. 313
  36. Vitrac 1990, p. 314.
  37. a et b Maurice Caveing, La figure et le nombre : Recherches sur les premières mathématiques des Grecs, Presses universitaires du Septentrion, (ISBN 978-2-85939494-3, lire en ligne) p. 183.
  38. (en) Ken Saito, « Studies on proportion theory and incommensurability (introduction) », dans Jean Christianidis (ed.), Classics in the History of Greek Mathematics, Springer, (ISBN 978-90-481-5850-8), p. 187-189.
  39. a et b (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », Cut The Knot, propose 99 démonstrations différentes du théorème mais cite The Pythagorean Proposition (par Elisha Scott Loomis, au début du XXe siècle) qui en rassemble 367.
  40. Celle-ci est détaillée dans Vitrac 1990, p. 285-287. Le principe est celui de la démonstration donnée dans l'article théorème de Clairaut (géométrie).
  41. (en) Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem sur chinapage.com
  42. Martzloff 1990.
  43. Chemla et Shuchun 2005, chap. 9.
  44. Martzloff 2006, p. 297.
  45. Chemla et Shuchun 2005, p. 680.
  46. Karine Chemla dans (Chemla et Shuchun 2005) fait référence à l’interprétation (1993) de cet historien p. 682.
  47. Serge Cantat — «Découpage d’Airy et théorème de Pythagore» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015.
  48. (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », Cut The Knot, proof 16
  49. (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », Cut The Knot, proof 5
  50. On trouvera cette démonstration ici, et une critique détaillée de cette démonstration (en) sur le site de Cut The Knot.
  51. Vitrac 1990, p. 285-286.
  52. (en) Scott E. Brodie, « The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate », Cut The Knot
  53. Franz Brünnow (en), Traité d'astronomie sphérique et d'astronomie pratique : Astronomie sphérique, Gauthier-Villars, 1869 Formules relatives aux triangles rectangles, p. 13
  54. Saul Stahl, The Poincaré half-plane : a gateway to modern geometry, Jones & Bartlett Learning, (ISBN 0-86720-298-X, lire en ligne), chap. 8. 2 (« Hyperbolic right triangle »), p. 122
  55. (en) Augustin A. Dubrulle, « A Class of Numerical Methods for the Computation of Pythagorean Sums », IBM Journal of Research and Development, vol. 27, no 6,‎ , p. 582–589 (DOI 10.1147/rd.276.0582, lire en ligne).
  56. Entrée « Pythagore (théorème de) » dans Baruk 1992

Annexes[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, [détail de l’édition]
  • Karine Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [détail de l’édition]
  • (en) Christopher Cullen (de), Astronomy and Mathematics in Ancient China: The ‘Zhou Bi Suan Jing’, CUP, (ISBN 978-0-521-03537-8, lire en ligne)
  • (en) Jens Høyrup, « Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’ – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics », dans Johannes Renger (ed.), Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft, 24.–26. März 1998 in Berlin, Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag, (lire en ligne), p. 393–407
  • (en) Eli Maor, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, (ISBN 978-0-691-12526-8, lire en ligne)
  • (en) Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer, (ISBN 3-540-33782-2)
  • (en) Eleanor Robson, « Words and pictures: new light on Plimpton 322 », Amer. Math. Month., vol. 109, no 2,‎ , p. 105–120 (DOI 10.2307/2695324, lire en ligne).
  • (en) Corinna Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-69053-9)
  • Bernard Vitrac, Euclide Les Éléments Volume 1. Introduction générale (Maurice Caveing). Livres I à IV, PUF, , en particulier notices du Livre I, Sur Pythagore et le « théorème de Pythagore », p. 311-321.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Contexte
Problèmes reliés
Généralisations
Ouverture