Théorème des milieux

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En géométrie élémentaire, le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès joint à sa réciproque.

Théorème direct[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté[1].

Formulation graphique[modifier | modifier le code]

Le théorème peut être représenté graphiquement de la façon ci-dessous :

Soient I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC], alors
(IJ) // (BC) et IJ = BC/2.

Démonstration en géométrie élémentaire[modifier | modifier le code]

Le point auxiliaire K fait apparaître deux parallélogrammes : AJBK et KBCJ.

Cette propriété se démontre[2] sans que soit connue la définition d'un vecteur. Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).

Soit K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK] et IJ = KJ/2.

Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme.

Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB].

KBCJ n’est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan par rapport à (KJ), B comme symétrique de A par rapport à I, C comme symétrique de A par rapport à J).

Or si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Donc KBCJ est un parallélogramme.

Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).

Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : IJ = BC/2.

Démonstration vectorielle[modifier | modifier le code]

Lorsque la notion de vecteur est déjà connue — par exemple, dans le cas d'un espace affine euclidien associé à un espace vectoriel — il existe une démonstration vectorielle beaucoup plus courte.

Puisque I est milieu de (A,B) et J est milieu de (A,C), on a

, d'où
.

Les vecteurs et sont colinéaires donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

La norme de est égale à la moitié de celle de , autrement dit la distance IJ est égale à BC/2.

Démonstration algébrique[modifier | modifier le code]

On peut dissimuler la relation de Chasles utilisée dans la démonstration vectorielle, en assimilant l'espace affine à l'espace vectoriel via le choix de l'origine A[3]. En effet, comme l'explique Jean Dieudonné[4], le langage affine n'est qu'une traduction de l'algèbre linéaire[citation nécessaire].

On a I=0,5B et J=0,5C. Donc J-I=0,5(C-B).

Théorème réciproque[modifier | modifier le code]

C'est un cas particulier du théorème direct de Thalès[5].

Théorème — Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu[1].

Il existe une démonstration de cette réciproque faisant intervenir uniquement des notions d'aire.

On suppose que la droite passe par le milieu I de côté [AB], qu'elle est parallèle au côté [BC] et qu'elle coupe le côté [AC] en un point J'.
Le triangle CBI a même sommet que le triangle CBA et a une base moitié donc
aire (CBI) = 12 aire (CBA).
Le segment [IJ'] est parallèle à la base [BC], donc, par cisaillement,
aire (CBI) = aire (CBJ').
L'aire du triangle BCJ' est donc la moitié de l'aire du triangle BCA et les points C, J' et A sont alignés donc
CJ' = 12 CA.
Le point J' est donc égal au milieu J du segment [CA].

Alternativement, le théorème réciproque peut se démontrer élémentairement comme le théorème direct : en notant K' le symétrique de J' par rapport à I, le quadrilatère AJ'BK' est un parallélogramme donc (BK') est parallèle à (J'A) = (CJ'), si bien que BK'J'C est aussi un parallélogramme ; par conséquent, CJ' = BK' = J'A.

Remarquons que le théorème réciproque peut se déduire de la première affirmation du théorème direct[2], et inversement : avec les mêmes notations que ci-dessus, J est égal à J' si et seulement si (IJ) est parallèle à (IJ'), c'est-à-dire à (BC).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Voir par exemple IREM-Strasbourg, dir. F. Mollet-Petit, Mathématiques 4e, collection Istra, éd. Casteilla, Paris, 1988, chap. 4, p. 65, mais tout autre livre de mathématiques de 4e conforme au programme de 1988 ou encore de 2008 (voir Bulletin officiel spécial no 6 du 28 août 2008 [PDF] p. 30) peut convenir.
  2. a et b Voir par exemple IREM-Strasbourg, dir. F. Mollet-Petit, Mathématiques 4e, collection Istra, éd. Casteilla, Paris, 1988, chap. 4, p. 68.
  3. François Liret et Dominique Martinais, Mathématiques pour le DEUG : algèbre 1re année : cours et exercices avec solutions, Dunod, (ISBN 9782100031498, OCLC 41129019), p. 170, exercice résolu où il y a la même démarche.
  4. J. Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, (1re éd. 1964) (ISBN 978-2-70565500-6, OCLC 4430751).
  5. Bulletin officiel spécial n°6 du 28 août 2008, p. 30.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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