Théorème de Stewart

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Illustration du théorème de Stewart

En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart est une généralisation du théorème de la médiane due au mathématicien Matthew Stewart en 1746[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit p une cévienne d'un triangle ABC divisant en X le côté a en deux parties x et y. On a alors la "relation de Stewart":

Démonstration[modifier | modifier le code]

D'après le théorème d'Al-Kashi, on a :

Puisque et sont supplémentaires, alors la somme de leurs cosinus est nulle, d'où, successivement :

Autre formulation[modifier | modifier le code]

Étant donnés une droite orientée comportant trois points et un point , la relation de Stewart s'écrit[2]:

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Le théorème de Holditch, qui en constitue une généralisation.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Stewart's Theorem », sur MathWorld

Références[modifier | modifier le code]


  1. (en) Matthew Stewart, « Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics », Edinburgh: Sands, Murray and Cochran,‎ , Proposition II
  2. F. Brachet et J. Dumarqué, Précis de géométrie : Compléments, Transformations, Coniques, Librairie Delagrave, , Révisions et compléments, chap. V (« Relations métriques »).