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Théorème de Stewart

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En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart fournit une relation algébrique entre les distances mutuelles de quatre points dont trois sont alignés. Il est dû au mathématicien Matthew Stewart en 1746 [1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Étant donné un point et une droite orientée comportant trois points , la relation de Stewart s'écrit[2],[3],[4],[5]:

.

Si, par exemple, se trouve entre et , on peut ôter les barres de mesure algébrique :

.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Première démonstration (produit scalaire)[modifier | modifier le code]

Cette démonstration repose sur le calcul de produits scalaires[3].

Notons le projeté de sur la droite portant .

En utilisant le produit scalaire, on obtient les deux égalités:

En multipliant la première égalité par et la deuxième par , puis, en en faisant la somme, on élimine  :

soit

D'où la relation demandée.

Deuxième démonstration (fonctions de Leibniz)[modifier | modifier le code]

Montrons que la relation de coplanarité des vecteurs s'écrit

.

En effet la fonction est une fonction vectorielle de Leibniz dont les coefficients ont une somme nulle ; elle est donc constante. En faisant , on obtient que la constante est nulle.

Dans ce cas, on sait que la fonction scalaire de Leibniz associée est constante elle aussi. En faisant , on obtient la valeur de cette constante, puis la relation de Stewart[6].

Troisième démonstration (coordonnées)[modifier | modifier le code]

Dans un repère orthonormé d'origine H, le premier vecteur de la base dirigeant la droite (ABC) , les points ont pour coordonnées : [4].

La relation de Stewart s'écrit alors qui se démontre par développement.

Quatrième démonstration (volume du tétraèdre)[modifier | modifier le code]

Le carré du volume du tétraèdre est égal, en utilisant le déterminant de Cayley-Menger, à[7]:

Si l'on remplace par , on obtient , soit . Le volume étant nul, on obtient la relation de Stewart.

Application au triangle[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — 

Soit d la longueur du segment [AD] d'une cévienne d'un triangle ABC divisant le côté [BC] en deux parties de longueurs x et y. On a alors la "relation de Stewart" :

Écrite sous la forme , elle permet d'obtenir la distance du sommet au pied de la cévienne.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

  • Il s'agit d'une traduction de la relation ci-dessus.
  • On peut aussi la démontrer en écrivant que exprimés par le théorème d'Al-Kashi [8],[9].

En effet, le pied D de la cévienne est le barycentre de B et C affectés des coefficients y et x. La fonction scalaire de Leibniz dans ce cas précis est avec . La réduction de la fonction scalaire de Leibniz en A en utilisant le barycentre D s'écrit : Or et , d'où la relation.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Si la cévienne est une médiane, et l'on retrouve la formule de la médiane : .

Si la cévienne est une bissectrice, d'après le théorème de la bissectrice intérieure du triangle, , et p est le demi-périmètre [8],[6].

Si la cévienne est une hauteur, l'élimination de x et y entre la relation de Stewart , et les relations et permet d'obtenir la formule : .

Sachant , on retrouve la formule de Héron donnant l'aire S du triangle.

.

Application à un sangaku[modifier | modifier le code]

Avec les notations précédentes, on cherche la longueur de la cévienne lorsque les disques inscrits dans et ont même rayon.

La condition d'égalité des rayons s'écrit et l'on obtient .

Le sangaku est mentionné sur une tablette datée de 1897 et localisée dans la préfecture de Chiba[11].

Autre application[modifier | modifier le code]

La relation de Stewart est à la base de la démonstration de l'existence d'un troisième foyer pour un ovale de Descartes.

Plus précisément, l'ovale de Descartes d'équation : , avec ,

a pour troisième foyer le barycentre de et affectés des coefficients et , et les deux autres équations de l'ovale sont :

.

Cas du quadrilatère convexe[modifier | modifier le code]

Soit un quadrilatère convexe, le point d'intersection des diagonales. On a la relation de Stewart pour le quadrilatère[8]:

Elle se démontre à partir de la formule d'Al-Kashi dans les triangles OAB, OBC, OCD, ODA.

Dans le cas où est un parallélogramme, elle donne l'égalité du parallélogramme.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Le théorème de Holditch, qui en constitue une généralisation.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Stewart's Theorem », sur MathWorld

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Matthew Stewart, « Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics », Edinburgh: Sands, Murray and Cochran,‎ , Proposition II (lire en ligne)
  2. F. Brachet et J. Dumarqué, Précis de géométrie : Compléments, Transformations, Coniques, Librairie Delagrave, , Révisions et compléments, chap. V (« Relations métriques »).
  3. a et b C. Lebossé et C. Hémery, Géométrie : Classe de mathématiques, Fernand Nathan, , p. 63, n° 85.
  4. a et b Clément Thiry, Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre, Gand, Revue de l'instruction publique, , p. 6-7.
  5. Georges Papelier, Exercices de géométrie moderne précédés de l'exposé élémentaire des principales théories : Géométrie dirigée, vol. 1, Vuibert, (lire en ligne Accès limité), p. 27-33.
  6. a et b Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, , p. 329,330
  7. Christoph Soland, « Géométrie plane : Une axiomatique centrée sur la distance. », Elemente der Mathematik, vol. 63,‎ , p. 178 (lire en ligne)
  8. a b et c Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 14, 361 et 425
  9. Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 188, 234
  10. Lucienne Félix, Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire : deux textes de réflexions didactiques, IREM de Bordeaux, , p. 46
  11. Géry Huvent, « Deux cercles égaux dans un triangle. »