Carré parfait

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En mathématiques, un entier n est un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) s'il existe un entier k tel que n = k2 ; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier. Par exemple, les entiers 0, 1, 4 ou encore 49 sont des carrés parfaits.

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9.

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les carrés parfaits. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 +42 = 52, qui débute l'étude des triplets pythagoriciens.

Depuis 1995, grâce au théorème de Fermat-Wiles, il n'y a que les carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. En effet, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers.

La somme des premiers carrés parfaits est donnée par la formule remarquable suivante :

\sum_{0 \le p \le n}p^2=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = {n (n+1) (2n+1)\over 6}.

Le tableau suivant donne la liste des dix premiers carrés parfaits :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

Nombre carré[modifier | modifier le code]

Un nombre carré est un nombre entier strictement positif qui peut être représenté géométriquement par un carré. Il est clair qu'un tel nombre peut s'écrire comme le carré d'un entier et est donc un carré parfait. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 × 3 points. Par convention, le premier nombre carré est égal à 1, bien que 0 soit un carré parfait (0×0=0). Remarquons que le produit de deux nombres carrés, est un nombre carré.

Représentons les premiers nombres carrés :

1
* x
4
**
**
**
**
9
***
***
***
***
***
***
16
****
****
****
****
****
****
****
****
25
*****
*****
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*****
*****
*****
*****
*****
*****

Les 50 premiers nombres carrés sont :

   1    4    9   16   25    36   49   64   81  100
 121  144  169  196  225   256  289  324  361  400
 441  484  529  576  625   676  729  784  841  900
 961 1024 1089 1156 1225  1296 1369 1444 1521 1600
1681 1764 1849 1936 2025  2116 2209 2304 2401 2500

Le nombre carré de rang n est n 2. Il est égal à la somme des n premiers nombres impairs, comme cela apparaît sur les graphiques précédents, où un carré s'obtient à partir du précédent en ajoutant un nombre impair de points (marqués *). Par exemple, 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Un nombre carré est également la somme de deux nombres triangulaires consécutifs.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Carré parfait sur recreomath.qc.ca