Carré parfait

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En mathématiques, un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Les 50 premiers carrés (suite A000290 de l'OEIS) sont :

02 = 0 52 = 25 102 = 100 152 = 225 202 = 400 252 = 625 302 = 900 352 = 1 225 402 = 1 600 452 = 2 025
12 = 1 62 = 36 112 = 121 162 = 256 212 = 441 262 = 676 312 = 961 362 = 1 296 412 = 1 681 462 = 2 116
22 = 4 72 = 49 122 = 144 172 = 289 222 = 484 272 = 729 322 = 1 024 372 = 1 369 422 = 1 764 472 = 2 209
32 = 9 82 = 64 132 = 169 182 = 324 232 = 529 282 = 784 332 = 1 089 382 = 1 444 432 = 1 849 482 = 2 304
42 = 16 92 = 81 142 = 196 192 = 361 242 = 576 292 = 841 342 = 1 156 392 = 1 521 442 = 1 936 492 = 2 401

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait nécessairement 0, 1, 4 ou 9.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Résidu quadratique[modifier | modifier le code]

On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que :

.

C'est un concept très utile ; il permet notamment de montrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation n'admet pas de solution dans . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

Divers[modifier | modifier le code]

On considère a et b des entiers naturels non nuls.

  1. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré.
  2. Si a2 + b2 = c2c est un entier, alors (a, b, c) forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un.
  3. a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
  4. Si ab est un carré parfait et que a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits[1] : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 62 mais 12 n'est pas un carré parfait.
  5. a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés.
  6. a est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
  7. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal.
  8. est un carré parfait. En fait, cette somme est égale à .

Nombre carré[modifier | modifier le code]

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 × 3 points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.

Le produit de deux nombres carrés est un nombre carré.

La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par 2n – 1 points :

Le n-ième nombre carré est donc la somme des n premiers nombres impairs : , ce qui fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2] : on écrit sur une première ligne les nombres entiers successifs dont on veut former les carrés, puis les nombres impairs successifs. Sur une troisième ligne, en commençant par 1, en ajoutant à chaque fois le nombre impair immédiatement à droite et au-dessus, on construit naturellement la suite des carrés parfaits.

La somme du 3e nombre triangulaire et du 4e est le 4e nombre carré.

Le n-ième nombre carré est aussi égal à la somme du n-ième nombre triangulaire et du précédent :

La somme de deux nombres carrés consécutifs est un nombre carré centré.

La somme des n premiers nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, qui débute l'étude des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers non nuls.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
  2. Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4e et de 3e, Paris, Armand Colin, , 5e éd., p. 161, paragraphe no 237.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Carré parfait sur recreomath.qc.ca