Théorème d'Hermite-Lindemann
Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que si a est un nombre algébrique non nul (réel ou complexe), alors le nombre ea est transcendant.
Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann[1].
En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.
Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.
Énoncé de la contraposée
[modifier | modifier le code]Si b est un nombre algébrique non nul différent de 1, toutes les déterminations de son logarithme complexe sont transcendantes.
En particulier, si b > 0 et b ≠ 1 est algébrique (par exemple un entier ≥ 2) , alors ln b est transcendant.
Transcendance de e et π
[modifier | modifier le code]En particulier, e = e1 est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873[2] : c’est le théorème d’Hermite).
De même, iπ, donc π, sont transcendants puisque eiπ = –1 est algébrique.
L'approche originelle d'Hermite pour e a été simplifiée et étendue à π par David Hilbert (en 1893)[3],[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à π la stratégie pour e, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle crucial.
Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de e et π, voir les références et les annexes.
Application aux fonctions sinus et cosinus
[modifier | modifier le code]On déduit du théorème d'Hermite-Lindemann la transcendance de tout nombre complexe non nul dont le sinus ou le cosinus est algébrique. En effet, compte tenu de la formule d'Euler , donnant , dès que ou est algébrique, eit est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.
On en déduit par exemple que le nombre de Dottie, solution de est transcendant.
L'impossible quadrature du cercle
[modifier | modifier le code]Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre π (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que π n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ (de) F. Lindemann, « Über die Zahl π », Math. Ann., vol. 20, , p. 213-225 (DOI 10.1007/BF01446522, lire en ligne).
- ↑ C. Hermite, « Sur la fonction exponentielle », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 77, , p. 18-24, 74-79, 226-233 et 285-293 (lire en ligne), « en ligne et analysé », sur le site bibnum par Michel Waldschmidt.
- ↑ (de) D. Hilbert, « Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π », Math. Ann., vol. 43, , p. 216-219 (lire en ligne).
- ↑ (de) Rudolf Fritsch, « Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π », Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von Figuren, vol. 34, , p. 144-148 (lire en ligne).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, CUP, (1re éd. 1975) (ISBN 978-0-521-39791-9, lire en ligne)
- (de) Rudolf Fritsch, « Transzendenz von e im Leistungskurs? », Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, vol. 42, , p. 75-80 (lire en ligne)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) « e is transcendental », sur PlanetMath, (consulté le ) (preuve de la transcendance de e, accompagnée d'une référence bibliographique)
- (en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental », sur PlanetMath (démonstration de la transcendance de e et π, puis du théorème de Lindemann-Weierstrass complet, tirée de Baker 1990, p. 4-8 et détaillée)
- Transcendance de e et π pour les nuls (mémoire de licence 1re année sous la direction d'Alain Prouté, Université Paris-Diderot)
