Théorème de Liouville (approximation diophantienne)

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844[1], est un résultat concernant l'approximation diophantienne des nombres algébriques par les rationnels : les nombres irrationnels algébriques sont « mal » approchés par les rationnels, au sens où les approximations rationnelles exigent des dénominateurs relativement grands.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit α un nombre réel algébrique de degré d > 1. Alors il existe une constante A > 0 telle que pour tout rationnel p/q (avec q > 0 et p entiers), on ait :

En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.

Démonstration[modifier | modifier le code]

  • Si |α – p/q| ≥ 1, on a immédiatement |α – p/q| ≥ q–d.
  • Sinon, soient Pα le polynôme minimal de α et k un entier naturel non nul tel que le produit P de Pα par k soit à coefficients entiers.
    Pour tout rationnel p/q, l'entier qd P(p/q) est non nul, puisque d ≥ 2. Ainsi,
    Soit
    L'inégalité des accroissements finis assure que
  • Posons A = min(1,1/M). On a dans tous les cas[2] :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Joseph Liouville, « Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques », J. Math. Pures Appl., 1e série, t. 16,‎ (lire en ligne), reproduit ses deux notes aux CRAS de mai 1844 et les complète.
  2. (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problem, World Scientific, (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 139

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Roth