Constante de Gelfond

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant eπ, c'est-à-dire e à la puissance π.

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et i (non rationnel) sont algébriques, or

{\rm e}^\pi=({\rm e}^{{\rm i}\pi})^{-{\rm i}}=(-1)^{-{\rm i}}

(ou plus rigoureusement : eπ = eiπ×–i et e = –1).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 22.

Valeur numérique[modifier | modifier le code]

Sous forme décimale, la constante est égale à

{\rm e}^\pi\approx23,140692632.

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}}}

k_0=\frac{1}{\sqrt2}.

Après N itérations, l'approximation est donnée par

\left(\frac{k_N}4\right)^{\frac{-1}{2^N}}.

Développement décimal remarquable[modifier | modifier le code]

Le nombre

{\rm e}^\pi-\pi=19,99909998\ldots

est un nombre presque entier.

Références[modifier | modifier le code]