Théorème de Lindemann-Weierstrass

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En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques α1, … , αn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles eα1, … , eαn sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension Q(eα1, … , eαn) de Q est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante[1] : si α0, … , αn sont des nombres algébriques distincts alors eα0, … , eαn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire : pour tous nombres algébriques ai non tous nuls.

En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier n = 1, et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication[2],[3].

Le cas n = 1[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Hermite-Lindemann.

En 1882, Lindemann avait esquissé[2] la preuve du fait que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant (ce qui redémontrait que e est transcendant et prouvait que π l'est aussi). C'est le cas n = 1 du théorème démontré par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

  • a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
  • ea est transcendant équivaut à : l'ensemble {ea} est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire :

  • a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
  • ea est transcendant équivaut à : e0 et ea sont linéairement indépendants sur Q.

Conjecture p-adique[modifier | modifier le code]

L'analogue p-adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante : « soient [p un nombre premier et] β1, … , βn des nombres p-adiques algébriques [Q-linéairement indépendants et] appartenant au domaine de convergence de l'exponentielle p-adique (en) expp. Alors les n nombres expp1), … , exppn) sont algébriquement indépendants sur Q[4]. »

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindemann–Weierstrass theorem » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, (1re éd. 1975) (ISBN 9780521397919, lire en ligne), chap. 1, Theorem 1.4.
  2. a et b (en) David E. Rowe (en), « Historical events in the background of Hilbert's seventh Paris problem », dans David E. Rowe et Wann-Sheng Horng, A Delicate Balance: Global Perspectives on Innovation and Tradition in the History of Mathematics, Birkhäuser, , p. 211-244.
  3. (de) K. W. Weierstrass, « Zu Lindemanns Abhandlung: "Über die Ludolph'sche Zahl" », Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., vol. 5,‎ , p. 1067-1085.
  4. (en) Michel Waldschmidt, « Open Diophantine Problems », Moscow Mathematical Journal, vol. 4, no 1,‎ , p. 245-305 (lire en ligne), Conjecture 3.11.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental » (démonstration tirée de Baker 1990 et détaillée), sur le site PlanetMath.