Ensemble vide

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En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.

Notation[modifier | modifier le code]

L'ensemble vide peut être noté d'un O barré[1], à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'une espace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite par André Weil, dans le cadre de l'institution de notations par le groupe Bourbaki[2].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour tout ensemble A :

  • l'ensemble vide est un sous-ensemble de A :∅ ⊂ A ;
  • l'union de A avec l'ensemble vide est A : ∅ ∪ A = A ;
  • l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide : ∅ ∩ A = ∅ ;
  • le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même : A ⊂ ∅ ⇒ A = ∅ ;
  • le produit cartésien de A par l'ensemble vide est vide :A × ∅ = ∅ × A = ∅ ;
  • l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans A est un singleton dont l'élément est l'application vide (en)A (le 0-uplet d'éléments de A) :A = {∅A} ;
  • si A est non vide, l'ensemble des applications de A dans l'ensemble vide est vide :A ≠ ∅ ⇒ ∅A = ∅.

L'ensemble vide est fini, son cardinal est 0, Card(∅) = 0, et c'est le seul ensemble de cardinal nul.

Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments ; c'est la propriété d'extensionnalité de la théorie des ensembles. Par conséquent, il ne peut y avoir qu'un ensemble ne contenant aucun élément, donc un seul ensemble vide.

Dans certaines variantes de la théorie des ensembles on peut introduire des "objets" appelés ur-elements[3], qui eux aussi n'ont pas d'éléments et peuvent aussi être éléments d'ensembles, mais qui, contrairement à l'ensemble vide, ne sont pas des ensembles.

Subtilité de la notion d'ensemble vide[modifier | modifier le code]

L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien.

De même, la notation {∅} n'a pas le même sens que ∅ : en particulier, l’ensemble désigné par ∅ n'a aucun élément (car c’est l'ensemble vide), tandis que l’ensemble désigné par {∅} en a un (cet élément étant l'ensemble vide).

Rappelons que l'ensemble vide est un sous-ensemble de n'importe quel ensemble A. D'après la définition d'un sous-ensemble, cela veut dire que pour tout élément x de ∅, x appartient à A. Raisonnons a contrario : si l'ensemble vide n'est pas inclus dans A, alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à A. Or, il n'y a aucun élément dans l'ensemble vide, donc plus particulièrement aucun élément de l'ensemble vide qui n'appartienne pas à A. On en conclut donc que tout élément de ∅ appartient à A et donc que ∅ est un sous-ensemble de A. Plus généralement, toute proposition commençant par « pour tout élément de ∅ » (en) est vraie par ex falso quodlibet.

L'ensemble vide dans la théorie axiomatique des ensembles[modifier | modifier le code]

L'ensemble vide est essentiel dans la théorie des ensembles ou théorie ZFC, son existence est assurée par l'axiome de l'ensemble vide. Son unicité découle de l'axiome d'extensionnalité.

De plus, on peut démontrer en utilisant le schéma d'axiomes de compréhension, que l'existence d'un ensemble quelconque implique l'axiome de l'ensemble vide, ce qui évite, quand on formalise la théorie des ensembles en logique du premier ordre, de faire appel à un axiome spécifique pour l'existence de l'ensemble vide (voir axiome de l'ensemble vide).

Le point de vue intuitionniste[modifier | modifier le code]

On dit qu'un ensemble est habité (en) [4] s'il a au moins un élément.

On a qu' :

  • un ensemble habité est non vide,

mais la réciproque, soit :

  • un ensemble non vide est habité,

ce qui peut se formuler aussi :

  • un ensemble qui est différent de ∅ possède au moins un élément,

nécessite le principe du tiers exclu. Donc n'est pas valide en logique intuitionniste.

On a d'ailleurs le théorème :

  • Le principe du tiers exclu est équivalent à l'affirmation tout ensemble non vide est habité[5]

Le point de vue catégorique[modifier | modifier le code]

L'ensemble vide peut être caractérisé très simplement comme objet de la catégorie des ensembles. C'est en effet l'unique objet ayant la propriété suivante :

Pour tout ensemble E, il existe une et une seule flèche de ∅ vers E.

Dans le cas de cette catégorie, flèche signifie application. Plus généralement, un objet qui, dans une catégorie, a cette propriété est appelé un objet initial.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. L'unicode possède trois caractères distincts U+2205 (∅) pour l'ensemble vide, U+00D8 (Ø) lettre de l'alphabet danois, et U+2300 (⌀) représentant le diamètre d'un cercle. Ces trois caractères ont la forme d'un cercle barré par un trait allant du sud-ouest au nord-est. Il est plus aisé de les distinguer de la lettre Phi majuscule de l'alphabet grec (Φ), qui elle consiste en un cercle barré d'un trait vertical. Le rond barré n'est pas non plus le zéro barré. TeX possède au moins deux graphies, et .
  2. (en) Jeff Miller, « Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic », sur http://jeff560.tripod.com.
  3. Le préfixe « Ur » vient de ce terme allemand, qui signifie « originel ».
  4. Cette notion est due à Brouwer, voir Ageron, page 11
  5. Ageron page 11

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Pierre Ageron, Logiques, ensembles, catégories: le point de vue constructif, Paris, Ellipses, coll. « Mathématiques pour le 2e cycle », (ISBN 978-2-7298-0245-5) Plus précisément la Leçon 3 : Ensembles.

Voir aussi[modifier | modifier le code]