Constante de Gelfond-Schneider

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La constante de Gelfond-Schneider, mentionnée par David Hilbert comme exemple (avec la constante de Gelfond) dans son 7e problème[1], est :

[2].

Rodion Kuzmin prouva en 1930[3] que ce nombre — et plus généralement, tout nombre de la forme αβ avec α algébrique différent de 0 et de 1 et β irrationnel quadratique — est transcendant, et Aleksandr Gelfond généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le théorème de Gelfond-Schneider.

Sa racine carrée est le nombre transcendant

qui peut être utilisé dans une preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle, parce que (22)2 = 2 (en utilisant le tiers exclu, on peut aboutir à la même conclusion sans savoir que 22 est irrationnel).

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Gelfond-Schneider Constant », sur MathWorld.
  2. Suite OEISA007507 de l'OEIS.
  3. (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII (en), no 6,‎ , p. 585-597 (lire en ligne).