Karl Weierstrass

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appelé Karl Weierstrass, orthographié Weierstraß en allemand, né le à Ostenfelde (Westphalie), mort le à Berlin, est un mathématicien allemand, lauréat de la médaille Copley en 1895.

Biographie[modifier | modifier le code]

Il a étudié les mathématiques à l'université de Münster et obtient une chaire à l'Université technique de Berlin. Il fut immobile les trois dernières années de sa vie et s'éteignit à Berlin à la suite d'une pneumonie.

Il crée avec Alfred Enneper une classe complète de paramétrisations (en).

Karl Weierstrass est souvent cité comme le « père de l'analyse moderne ». Il consolide des travaux de Cauchy sur les nombres irrationnels et leur donne une nouvelle compréhension. Ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques.

C'est lui qui le premier rend publique un exemple de fonction continue nulle part dérivable.

Contributions mathématiques[modifier | modifier le code]

Fiabilité de l'analyse[modifier | modifier le code]

Weierstrass étudie la fiabilité de l'analyse, dont il propose une construction logique rigoureuse. À cette époque, les démonstrations de l'analyse s'appuient sur des définitions ambiguës, d'où la nécessité de nouvelles définitions. Tandis que Bolzano a développé une définition suffisamment rigoureuse des limites dès 1817 (et peut-être même auparavant), ses travaux restent quasi inconnus de la communauté mathématique pendant des années, et d'autres mathématiciens éminents, comme Cauchy, ne donnent que de vagues définitions de la limite et de la continuité d'une fonction. En 1861[n 1] Weierstrass définit la continuité comme suit :

f est continue en x0 si, pour tout réel ε strictement positif, il existe un réel δ strictement positif tel que, si x est à une distance de x0 strictement inférieure à δ, alors la valeur de la fonction f en x est à une distance strictement inférieure à ε de la valeur de la fonction f en x0.

Sous forme symbolique :

Weierstrass formula également une définition de la limite et de la dérivée « en (ε, δ) », telle qu'on l'enseigne généralement aujourd'hui.

Avec ces nouvelles définitions, il put donner des démonstrations rigoureuses de plusieurs théorèmes qui reposent sur des propriétés des nombres réels jusqu'alors tenues pour intuitives, tels le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème de Borel-Lebesgue.

Fonction de Weierstrass[modifier | modifier le code]

Le , Weierstrass expose à l'Académie royale des sciences de Berlin l'exemple d'une fonction continue partout et dérivable nulle part, appelée aujourd'hui fonction de Weierstrass, qu'il enseigne dans ses cours depuis 1861. Il cause ainsi une grande surprise dans le monde mathématique : on croyait d'ordinaire qu'une fonction continue en tout point était nécessairement dérivable, sauf peut-être en quelques points.

Le manuscrit Functionenlehre de Bernard Bolzano, rédigé avant 1834, contient un autre exemple, mais il n'est exposé qu'en 1921 et publié en 1930[2].

Calcul des variations[modifier | modifier le code]

Weierstrass fait aussi des avancées significatives dans le champ du calcul des variations. En utilisant les outils de l'analyse qu'il a contribué à développer, Weierstrass peut reformuler complètement la théorie, ce qui ouvre la voie à l'étude moderne du calcul des variations. Weierstrass établit par exemple une condition nécessaire à l'existence d'un extremum global de problèmes variationnels. Il contribue à l'expression de la condition de Weierstrass-Erdmann (en), qui donne les conditions suffisantes pour qu'un extremum ait un coin.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Weierstrass ne publia pas ses cours et ceux-ci ne sont connus que par les notes de ses élèves. Le premier traité d'analyse publié en allemand est dû à Otto Stolz et date de 1885[1]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Karl Weierstrass » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Document utilisé pour la rédaction de l’article : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

  • Juan Matías Sepulcre Martínez et Abel Gerschenfeld (Trad.), La naissance de l'analyse moderne : Weierstrass, Barcelone, RBA Coleccionables, , 141 p. (ISBN 978-84-473-9617-7)
  • Eric Temple Bell et Ami Gandillon (Trad.), Les grands mathématiciens, Paris, Librairie Payot, , 615 p.
  • Reuben Hersch et Philip J. Davis, L'empire mathématique, Paris, Gauthier-Villars,

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]