Sinus (mathématiques)

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Sinus = Côté opposé / Hypoténuse.

En géométrie, le sinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. La notion s'étend aussi à tout angle géométrique. Dans cette acception, le sinus est un nombre toujours compris entre 0 et 1. Si on introduit une notion d'orientation, les angles (et leur sinus) peuvent prendre des valeurs positives ou négatives. Le sinus d'un angle α est noté sin(α) ou simplement sin α[1].

Représentation graphique d'une période de la fonction sinus.

En analyse, la fonction sinus est une fonction de la variable réelle qui, à chaque réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α radians. C'est une fonction impaire et périodique. Les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi géométriquement, mais les définitions plus modernes les caractérisent par des séries entières ou comme des solutions d'équations différentielles particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux nombres complexes.

La fonction sinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.

L'origine de la fonction sinus et de son nom remonte aux fonctions jyā et koṭi-jyā (en), utilisées en astronomie indienne pendant la période Gupta (dans le traité Surya Siddhanta), via des traductions du sanskrit à l'arabe et de l'arabe au latin[2].

Sinus d'un angle[modifier | modifier le code]

Sinus d'un angle géométrique[modifier | modifier le code]

Dans un triangle rectangle[modifier | modifier le code]

Le sinus d'un angle aigu non orienté de mesure α (en degrés entre 0 et 90°, en radians entre 0 et π/2, en grades entre 0 et 100 gr) est un nombre réel positif compris entre 0 et 1. Il peut se définir dans un triangle rectangle arbitraire dont l'un des angles autre que l'angle droit a pour mesure α.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

  • l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle de mesure α et le côté le plus long du triangle ;
  • le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle de mesure α qui nous intéresse ;
  • le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle de mesure α, qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :

h : la longueur de l'hypoténuse ;
o : la longueur du côté opposé.

Alors :

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi avec un angle de mesure α, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.

Dans un triangle quelconque[modifier | modifier le code]

Dans un triangle quelconque, le sinus de l'angle ABC est égal au rapport de la hauteur issue de A par la longueur BA. Il est égal aussi au rapport de la hauteur issue de C par la longueur BC : .

Le sinus d'un angle obtus est ainsi égal au sinus de l'angle supplémentaire.

La connaissance du sinus d'un angle permet de calculer l'aire d'un triangle :

Réciproquement, le sinus d'un angle peut être calculé dès que l'on connait les côtés et l'aire du triangle (l'aire d'un triangle peut se calculer par la formule de Héron, ou grâce au produit vectoriel):

Les sinus des trois angles d'un triangle sont liés par la loi des sinus. Si on note a, b, c les côtés opposés aux sommets A, B et C, et R le rayon du cercle circonscrit au triangle on a :

Repères historiques[modifier | modifier le code]

Le sinus fait partie des premières fonctions trigonométriques étudiées et tabulées. Ces fonctions sont utilisées, par les Grecs puis les Indiens, en trigonométrie sphérique pour les calculs astronomiques. Pour eux, il s'agit de longueurs associées à des arcs de cercles dont le rayon est donné. La première de ces fonctions est la corde d'un arc de cercle. Les premières tables de cordes connues sont celles d'Hipparque au IIe siècle av. J.-C.[3]. Les Indiens commencent par travailler eux aussi sur les tables de cordes qu'ils appellent jya ou jiva. Ils préfèrent ensuite travailler sur une nouvelle quantité, plus simple pour les calculs, qui correspond à la demi-corde de l'arc double. Ils appellent cette quantité ardha-jya, soit la demi-corde, puis progressivement, le terme de jya s'impose pour la demi-corde de l'arc double. Le terme est alors repris par les arabes qui le translittèrent en jiba qui évolue en jaib. Lors de la traduction des écrits arabes par Gérard de Crémone, ce terme subit une dernière modification : Gérard de Crémone le confond avec un terme arabe, de même consonance, qui a le sens de «sein» ou «anse» et le traduit donc par le mot latin sinus[4].

Les premières tables de sinus connues sont celles des Siddhantas, notamment le Surya Siddhanta (fin du IVe siècle-début du Ve siècle)[5] et celles d'Aryabhata au VIe siècle. Aryabatha part du principe que, pour la 24e partie d'un quart de cercle, on peut confondre la longueur d'un arc et son sinus. Le tiers d'un quart de cercle correspond à un angle de 30 °, dont le sinus est évident : un demi-rayon. Pour obtenir ensuite la 24e partie du quart de cercle, il suffit de diviser 3 fois par 2 l'angle initial. Aryabhata est capable, grâce au théorème de Pythagore, de calculer le sinus de l'angle moitié. Il prend un cercle de rayon 3 438, ce qui conduit, avec la valeur de π utilisée à l'époque (3,1416) à un cercle de circonférence 21 600 (on remarque qu'un angle plein correspond à 360 ° soit 21 600 minutes) . Il donne, pour cette valeur du rayon, les 24 valeurs des sinus des arcs de longueurs n × 225[6]. Les Indiens fournissent également les tables de sinus pour des cercles de rayon 60, 150, 120, ... [3]. Cette habitude de construire des tables de sinus correspondant à un cercle dont le rayon, fixé arbitrairement, est appelé «sinus total»[7], perdure en Europe encore jusqu'à la fin du XVIIIe siècle[8].

Sinus d'un angle orienté[modifier | modifier le code]

sin(α) est égal à l'ordonnée du point du cercle situé sur la demi-droite faisant un angle α avec la demi-droite [Ox) (ordonnée indiquée en rouge).

Le sinus d'un angle orienté de mesure α est un nombre réel compris entre -1 et 1. Ici le plan est orienté dans le sens trigonométrique.

Le cercle unité est le cercle de rayon un, centré à l'origine (0, 0) d'un système de coordonnées cartésiennes.

Considérons l'intersection entre une demi-droite issue de l'origine qui fait un angle de mesure α avec le demi-axe (Ox), et le cercle unité. Alors la composante verticale de cette intersection est égale à sin(α). Cette définition coïncide avec la précédente quand α est la mesure d'un angle saillant, orienté dans le sens positif, et on déduit celle-ci de la précédente en remarquant qu'un changement d'orientation de l'angle induit un changement de signe du sinus.

Il est possible de déterminer directement, à l'aide d'un déterminant, le sinus de l'angle orienté entre deux vecteurs dont on connait les coordonnées : pour et , on a : Une telle égalité peut se démontrer si on considère comme acquise la formule trigonométrique du sinus d'une différence. Il suffit de poser et de remarquer que

Fonction sinus[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

À partir du cercle trigonométrique[modifier | modifier le code]

Animation montrant le graphique de y = sin(x) (où x est l'angle en radians) sur le cercle unité.

Si les angles orientés sont mesurés en radians, la fonction qui, au réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α radians est appelé la fonction sinus.

L'observation des propriétés géométrique des angles orientés permettent de déduire les identités sin(−α) = −sin(α) (la fonction sinus est donc impaire), sin(α + π) = −sin(α), et sin(α + 2π) = sin(α) (la fonction sinus est donc périodique de période 2π).

À partir des séries entières[modifier | modifier le code]

En analyse, la fonction sin se définit sur l'ensemble ℝ des nombres réels par une série dont on montre qu'elle converge sur tout ℝ :

 ;

on montre également que cette définition coïncide avec la précédente quand les angles sont mesurés en radians[9]. Cette définition est souvent utilisée comme point de départ dans les traités rigoureux d'analyse et permet la définition du nombre π.

La périodicité, la dérivabilité et la continuité s'établissent alors par la théorie des séries, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. La définition utilisant les séries permet de prolonger la fonction sinus en une fonction analytique dans tout le plan complexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Réciproque[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives (ni même injectives, puisqu'elles sont périodiques) ; elles n'admettent donc pas de bijections réciproques. En les restreignant à certains intervalles de départ et d'arrivée, les fonctions trigonométriques peuvent réaliser des bijections. L'application réciproque arcsin est définie par :

pour tous réels x et y :

si et seulement si

La fonction arcsin est donc une bijection de [–1, 1] sur [–π/2, π/2] et vérifie

et

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :

Intégrale[modifier | modifier le code]

Une primitive de sin est –cos, ce qui s'écrit : Autrement dit : pour tout x0,

est la « constante d'intégration ».

Limites[modifier | modifier le code]

Article connexe : Sinus cardinal.

(Voir le § « Exemple » de l'article sur le théorème des gendarmes.)

Valeurs remarquables[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction sinus.
Quelques angles communs (θ) sur le cercle unité. Les angles sont indiqués en degrés et en radians, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (cos θ, sin θ).
x (angle) sin x
Degrés Radians Grades Exacte Décimale
0 0g 0 0
180° 200g
15° 1623g 0,258819045102521
165° 18313g
18° 20g 0,309016994374947
162° 180g
30° 3313g 0,5
150° 16623g
45° 50g 0,707106781186548
135° 150g
54° 60g 0,809016994374947
126° 140g
60° 6623g 0,866025403784439
120° 13313g
75° 8313g 0,965925826289068
105° 11623g
90° 100g 1 1

Relation avec les nombres complexes[modifier | modifier le code]

Une illustration du plan complexe. Les nombres imaginaires se trouvent sur l'axe des ordonnées.

Le sinus est utilisé pour déterminer la partie imaginaire d'un nombre complexe z donné en coordonnées polaires, par son module r et son argument φ :

i désigne l'unité imaginaire.

La partie imaginaire de z est

En particulier

Bien qu'acceptant aussi des nombres complexes, le paramètre donné à la fonction sinus est généralement un nombre réel.

Sinus avec un argument complexe[modifier | modifier le code]

Coloration de domaine (en) de sin(z) quand les parties réelle et imaginaire de z sont comprises dans [–π, π]. La luminosité indique le module, la saturation représente[Comment ?] la magnitude imaginaire et réelle[Quoi ?].
sin(z) comme un champ vectoriel.

La définition de la fonction sinus comme série entière s'étend pourtant telle quelle à des arguments complexes z et donne une fonction entière :

ou encore :

sinh désigne la fonction sinus hyperbolique.

Il est parfois utile de l'exprimer en termes des parties réelle et imaginaire de son argument : pour x et y réels,

Fraction partielle et développement en série du sinus complexe[modifier | modifier le code]

Utilisant la technique de développement en éléments simples (en) d'une fonction méromorphe, on peut trouver la série infinie :

On trouve de même

Utilisant la technique de développement du produit, on peut en tirer

Utilisation du sinus complexe[modifier | modifier le code]

sin z se trouve dans l'équation fonctionnelle pour la fonction Gamma,

laquelle se trouve à son tour dans l'équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Riemann,

Comme toute fonction holomorphe, sin z est harmonique, c'est-à-dire solution de l'équation de Laplace à deux dimensions :

Graphiques complexes[modifier | modifier le code]

Fonction sinus dans le plan complexe
Complex sin real 01 Pengo.svg
Complex sin imag 01 Pengo.svg
Complex sin abs 01 Pengo.svg
partie réelle partie imaginaire module


Sin-1 dans le plan complexe
Complex arcsin real 01 Pengo.svg
Complex arcsin imag 01 Pengo.svg
Complex arcsin abs 01 Pengo.svg
partie réelle partie imaginaire module

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sine » (voir la liste des auteurs).

  1. La notation avec parenthèses est toujours correcte. La notation plus concise n'est acceptable que si l'argument est simple : on peut écrire sin(α) ou sin α, mais obligatoirement sin(2α) et sin(α + β).
  2. (en) Carl B. Boyer et Uta C. Merzbach (de), A History of Mathematics, John Wiley & Sons, , 3e éd. (1re éd. 1968) (ISBN 978-0-47063056-3, lire en ligne), chap. 11 (« The Islamic Hegemony, § Trigonometry »).
  3. a et b Marie-Thérèse Debarnot (dir.), « Trigonométrie », dans Histoire des sciences arabes : Mathématiques et physique, t. 2, , p. 163
  4. (en) Bibhutibhusan Datta et Avadesh Narayan Singh, « Hindu trigonometry », Indian Journal of History of Science, no 18 (1),‎ , p. 38-109 (lire en ligne) , p.40
  5. (en) Carl B. Boyer et Uta C. Merzbach (de), A History of Mathematics, John Wiley & Sons, , 3e éd. (1re éd. 1968) (ISBN 978-0-47063056-3, lire en ligne), chap. 10 (« Ancient and Medieval India, § The siddhantas »).
  6. Kim Plofker (dir.), « Mathématiques in India », dans The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : A sourcebook, Princeton University Press, , pp. 407-409
  7. Jean-Pierre Friedelmeyer (dir.), « Contexte et raisons d'une mirifique invention », dans Histoire des logarithmes, Ellipses, (ISBN 9782729830274), p.43
  8. Voir par exemple, la Table trigonométrique décimale de Jean-Charles de Borda où est expliqué p.40 que logarithme décimal du centième d'un quart de cercle (soit 1 grade) vaut 8,196111, ce qui correspond à un cercle de rayon 1010, et qui évalue p.29, le logarithme décimal du sinus de 69,48 grades à environ 9,948 soit un sinus de 8 871 560 120
  9. Voir par exemple, F.Dupré, [PDF]Préparation à l'agrégation interne - Trigonométrie

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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