Théorème de Baker

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Le théorème de Baker résout la conjecture de Gelfond. Dû à Alan Baker dans une série d'articles intitulés Linear forms in the logarithms of algebraic numbers parue en 1966 et 1967 dans la revue Mathematika (en), c'est un résultat de transcendance sur les logarithmes de nombres algébriques, qui généralise à la fois le théorème d'Hermite-Lindemann (1882) et le théorème de Gelfond-Schneider (1934).

Ce théorème a été adapté au cas des nombres p-adiques par Armand Brumer[1] ; le théorème de Brumer permet de démontrer la conjecture de Leopoldt dans le cas d'un corps de nombres abélien, suivant un article d'Ax[2].

On note L l'ensemble des « logarithmes de nombres algébriques (non nuls) », c'est-à-dire des nombres complexes dont l'exponentielle est un nombre algébrique[3], et le corps des nombres algébriques (la clôture algébrique du corps ℚ des rationnels).

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si n éléments λ1, …, λn de L sont ℚ-linéairement indépendants, alors les n + 1 éléments 1, λ1, …, λn sont -linéairement indépendants[4].

Par exemple, le théorème de Baker permet de montrer la transcendance de nombres comme x log(2) + y log(3) + z log(5) pour tous nombres algébriques x, y, z non tous nuls.

Extensions[modifier | modifier le code]

Le théorème de Baker garantit l'indépendance linéaire sur de certains « logarithmes de nombres algébriques », ce qui est plus faible que leur indépendance algébrique. La généralisation suivante n'est toujours pas démontrée :

Conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes[5],[6] — Si n éléments de L sont ℚ-linéairement indépendants, alors ils sont algébriquement indépendants.

C'est un cas particulier de la conjecture de Schanuel, mais « on ne sait même pas encore s'il existe deux nombres algébriquement indépendants parmi les logarithmes de nombres algébriques[6] ! ». En effet, le théorème de Baker exclut toute relation linéaire non triviale entre les logarithmes de nombres algébriques, mais le cas suivant le plus simple, qui est d'exclure toute relation quadratique homogène, a pour cas particulier la conjecture des quatre exponentielles (en)[7], qui reste ouverte.

De même, on ne sait pas étendre le théorème de Brumer en une preuve d'indépendance algébrique (dans le cadre p-adique, donc en utilisant la fonction logarithme p-adique (en)). Cela prouverait la conjecture de Leopoldt sur les rangs p-adiques des unités d'un corps de nombres quelconque.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Baker's theorem » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) A. Brumer, « On the units of algebraic number fields », Mathematika, vol. 14, no 2,‎ , p. 121-124 (DOI 10.1112/S0025579300003703).
  2. (en) James Ax, « On the units of an algebraic number field », Illinois J. Math., vol. 9,‎ , p. 584–589 (lire en ligne).
  3. (en) Michel Waldschmidt, Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. (de) » (no 326), (ISBN 978-3-540-66785-8, lire en ligne), p. 2.
  4. Waldschmidt 2000, p. 3, Theorem 1.6.
  5. Notes historiques de (en) Serge Lang, Introduction to Transcendental Numbers, Addison-Wesley, , chap. III.
  6. a et b Waldschmidt 2000, p. 16, Conjecture 1.15.
  7. Waldschmidt 2000, p. 24, Exercise 1.8.

Articles connexes[modifier | modifier le code]